Ejercicio resuelto de Análisis · Matemáticas CCSS · 2022

Problema 3.

Se considera la función $f(x)=\frac{3x^2-4x-4}{x^2-x-1}$. Se pide:

a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados. (2 puntos)
b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen. (2 puntos)
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (2 puntos)
d) Los máximos y mínimos locales, si existen. (2 puntos)
e) La representación gráfica de la función a partir de los resultados anteriores. (2 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Su}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes}}\mathbf{\text{coordenados.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El dominio son todos los números reales menos los que anulan el denominador.

$x^2-x-1=0\Rightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{(-1{)}^2+4}}{2}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

Por tanto: $\text{Dom}(f)=\mathbb{R}$ -$\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

Puntos de corte con el eje $OY$: $f(x)=\frac{3x^2-4x-4}{x^2-x-1}\Rightarrow x=0\Rightarrow f(0)=\frac{-4}{-1}=4\Rightarrow A(0,4)$

Puntos de corte con el eje $OX$: $\frac{3x^2-4x-4}{x^2-x-1}=0\Rightarrow 3x^2-4x-4=0$

$x=\frac{4\pm \sqrt{(-4{)}^2-4\cdot 3\cdot (-4)}}{6}=\frac{4\pm 8}{6}$

$x=\frac{-4}{6}=-\frac{2}{3}\Rightarrow B(-\frac{2}{3},0),x=\frac{12}{6}=2\Rightarrow C(2,0)$

Los puntos de corte con los ejes son: $A(0,4);B(-\frac{2}{3},0);C(2,0)$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{horizontales}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{verticales,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{existen.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Asíntota vertical $x=a$.

Comprobamos si $x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ es asíntota vertical:

${\lim }_{x\to \frac{1-\sqrt{5}}{2}}f(x)={\lim }_{x\to \frac{1-\sqrt{5}}{2}}\frac{3x^2-4x-4}{x^2-x-1}$ El numerador toma un valor finito distinto de cero y el denominador tiende a $0$, por lo que el límite es infinito.

Por tanto: $x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ es una asíntota vertical.

${\lim }_{x\to \frac{1+\sqrt{5}}{2}}f(x)={\lim }_{x\to \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\frac{3x^2-4x-4}{x^2-x-1}$ El numerador toma un valor finito distinto de cero y el denominador tiende a $0$, por lo que el límite es infinito.

Por tanto: $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ es asíntota vertical.

Asíntota horizontal $y=b$:

$b={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}f(x)={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}\frac{3x^2-4x-4}{x^2-x-1}$

Dividiendo numerador y denominador por $x^2$:

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{3-\frac{4}{x}-\frac{4}{x^2}}{1-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}}=3$

Por tanto: $y=3$ es asíntota horizontal.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Calculamos la derivada y la igualamos a cero para buscar los puntos críticos:

$f(x)=\frac{3x^2-4x-4}{x^2-x-1}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{(6x-4)(x^2-x-1)-(3x^2-4x-4)(2x-1)}{(x^2-x-1{)}^2}$

Simplificando el numerador: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{-x^2+2x}{(x^2-x-1{)}^2}$

Igualamos a cero: $-x^2+2x=0\Rightarrow x(x-2)=0\Rightarrow x=0;x=2$

Estudiamos el signo de la derivada en los intervalos determinados por los puntos críticos y las asíntotas verticales

$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0.62;x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.62$:

En el intervalo $(-\mathrm{\infty },-0.62)$ tomamos $x=-3$: $f^{\mathrm{\prime }}(-3)<0$ ⇒ decrece.

En el intervalo $(-0.62,0)$ tomamos $x=-1$: $f^{\mathrm{\prime }}(-1)<0$ ⇒ decrece.

En el intervalo $(\frac{1-\sqrt{5}}{2},0)$ tomamos $x=-0.5$ y la derivada vale: $f^{\mathrm{\prime }}(-0.5)=\frac{-(-0.5{)}^2+2(-0.5)}{((-0.5{)}^2-(-0.5)-1{)}^2}<0$ La función decrece en $(\frac{1-\sqrt{5}}{2},0)$.

En el intervalo $(0,\frac{1+\sqrt{5}}{2})$ tomamos $x=1$ y la derivada vale: $f^{\mathrm{\prime }}(1)=\frac{-1^2+2}{(1^2-1-1{)}^2}>0$ La función crece en $(0,\frac{1+\sqrt{5}}{2})$.

En el intervalo $(\frac{1+\sqrt{5}}{2},+\mathrm{\infty })$ tomamos $x=2$ y la derivada vale: $f^{\mathrm{\prime }}(2)=\frac{-2^2+4}{(2^2-2-1{)}^2}>0$ La función crece en $(\frac{1+\sqrt{5}}{2},+\mathrm{\infty })$.

Por tanto, la función sigue el siguiente comportamiento:


La función crece en $(-\mathrm{\infty },-2)\cup (0,\frac{1+\sqrt{5}}{2})\cup (\frac{1+\sqrt{5}}{2},+\mathrm{\infty })$

y decrece en $(-2,\frac{1-\sqrt{5}}{2})\cup (\frac{1-\sqrt{5}}{2},0)$.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Los}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos}}\mathbf{\text{locales,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{existen.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Observando el esquema de evolución de la función, presenta un máximo relativo en $x=-2$:

$f(-2)=\frac{3(-2{)}^2-4(-2)-4}{(-2{)}^2-(-2)-1}=\frac{16}{5}=3.2$ Las coordenadas del máximo relativo son: $(-2,3.2)$.

La función tiene un mínimo relativo en $x=0$, como $f(0)=\frac{-4}{-1}=4$. Las coordenadas del mínimo relativo son: $(0,4)$.

$\mathbf{\text{e)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{representaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{resultados}}\mathbf{\text{anteriores.}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Para realizar la representación gráfica utilizamos toda la información obtenida previamente sobre la función.