Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

Se sabe que la altura de los estudiantes que se presentan a la EVAU tiene distribución normal con desviación típica igual a 10 cm. Queremos construir un intervalo de confianza para la media de la altura de los estudiantes.

a) Determinar el tamaño de la muestra para que el intervalo de confianza del 97 % tenga una amplitud menor o igual que 4 cm. (5 puntos)

b) Decidimos tomar una muestra de tamaño 9. Medimos a los estudiantes y tenemos los siguientes resultados en cm: 175, 187, 183, 162, 161, 164, 180, 171, 158. Calcular un intervalo de confianza al 97 % para la media de la altura de los estudiantes que se presentan a la EVAU. (4 puntos)

c) Calcular la varianza de la muestra del apartado b). (1 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{97}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{amplitud}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{cm.}}(5\text{ puntos})$

El intervalo de confianza para la media de una población normal de desviación típica conocida tiene amplitud $2E$, donde

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$

Si la amplitud no debe pasar de $4$ cm, el error no debe pasar de la mitad:

$E\le 2$

Se busca el valor crítico. Con un nivel de confianza del 97 \%, $\alpha =\mathrm{0,03}$ y $\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,015}$:

$P(Z\le z_{\alpha \mathrm{/}2})=1-{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,985}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,17}$



Se sustituye en la fórmula del error y se despeja $n$, con $\sigma =10$ cm:

$\mathrm{2,17}\cdot {\displaystyle \frac{10}{\sqrt{n}}}\le 2\Rightarrow \sqrt{n}\ge {\displaystyle \frac{\mathrm{21,7}}{2}}=\mathrm{10,85}$

$n\ge {\mathrm{10,85}}^2=\mathrm{117,72}$

Como $n$ debe ser un número entero y la desigualdad ha de cumplirse, se toma el entero inmediatamente superior.

Hay que tomar una muestra de al menos $118$ estudiantes.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Decidimos}}\mathbf{\text{tomar}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{9.}}\mathbf{\text{Medimos}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{estudiantes}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{tenemos}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{siguientes}}\mathbf{\text{resultados}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cm:}}\mathbf{\text{175,}}\mathbf{\text{187,}}\mathbf{\text{183,}}\mathbf{\text{162,}}\mathbf{\text{161,}}\mathbf{\text{164,}}\mathbf{\text{180,}}\mathbf{\text{171,}}\mathbf{\text{158.}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{97}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{estudiantes}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{presentan}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{EVAU.}}(4\text{ puntos})$

Se calcula primero la media de la muestra.

$\bar{x}={\displaystyle \frac{175+187+183+162+161+164+180+171+158}{9}}={\displaystyle \frac{1541}{9}}$

$\bar{x}\approx \mathrm{171,22}\text{ cm}$

Se mantiene el valor crítico del apartado anterior, $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,17}$, y se calcula el error con $\sigma =10$ y $n=9$:

$E=\mathrm{2,17}\cdot {\displaystyle \frac{10}{\sqrt{9}}}=\mathrm{2,17}\cdot {\displaystyle \frac{10}{3}}={\displaystyle \frac{\mathrm{21,7}}{3}}\approx \mathrm{7,2333}$

$IC=(\bar{x}-E;\bar{x}+E)=(\mathrm{171,22}-\mathrm{7,23};\mathrm{171,22}+\mathrm{7,23})$

El intervalo de confianza al 97 \% para la altura media es $(\mathrm{163,99};\mathrm{178,46})$ cm. Es un intervalo muy ancho porque la muestra es de solo 9 estudiantes, muy lejos de los 118 que exigía el apartado a).

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{varianza}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{b).}}(1\text{ punto})$

Se aplica la fórmula de la varianza a partir de la media de los cuadrados.

${\sigma }^2={\displaystyle \frac{\sum x_i^2}{n}}-{\bar{x}}^2$

Se calcula primero la suma de los cuadrados:

$\sum x_i^2={175}^2+{187}^2+{183}^2+{162}^2+{161}^2+{164}^2+{180}^2+{171}^2+{158}^2=264749$

${\sigma }^2={\displaystyle \frac{264749}{9}}-{\left({\displaystyle \frac{1541}{9}}\right)}^2=\mathrm{29416,56}-\mathrm{29317,05}$

${\sigma }^2={\displaystyle \frac{8060}{81}}\approx \mathrm{99,51}$

La varianza de la muestra es ${\displaystyle \frac{8060}{81}}\approx \mathrm{99,51}{\text{cm}}^2$, de modo que su desviación típica vale $\sqrt{\mathrm{99,51}}\approx \mathrm{9,98}$ cm. Si en lugar de dividir entre $n$ se divide entre $n-1$, se obtiene la cuasivarianza $s^2={\displaystyle \frac{8060}{72}}\approx \mathrm{111,94}{\text{cm}}^2$.