Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Un estudio revela que los estudiantes de bachillerato pasan, en promedio, 3,5 horas haciendo fila para entrar a conciertos, con una desviación típica de 1,8 horas. Se selecciona una muestra aleatoria de 64 estudiantes de bachillerato que asisten esta tarde a un concierto, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo promedio de espera para esa muestra sea inferior a 4 horas? [5 puntos]

$\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{estudio}}\mathbf{\text{revela}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{estudiantes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{bachillerato}}\mathbf{\text{pasan,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{promedio,}}\mathbf{\text{3,5}}\mathbf{\text{horas}}\mathbf{\text{haciendo}}\mathbf{\text{fila}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{entrar}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{conciertos,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1,8}}\mathbf{\text{horas.}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{selecciona}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{aleatoria}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{64}}\mathbf{\text{estudiantes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{bachillerato}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{asisten}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{tarde}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{concierto,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{promedio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{espera}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{inferior}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{horas?}}(5\text{ puntos})$

Se llama $X$ al tiempo, en horas, que un estudiante pasa haciendo fila. Del enunciado se conocen su media y su desviación típica:

$\mu =\mathrm{3,5},\sigma =\mathrm{1,8},n=64$

Se pregunta por la media de una muestra de tamaño 64. Por el teorema central del límite, la distribución de las medias muestrales es

$\bar{X}\sim N(\mu ;{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

${\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,8}}{\sqrt{64}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,8}}{8}}=\mathrm{0,225}\Rightarrow \bar{X}\sim N(\mathrm{3,5};\mathrm{0,225})$

La probabilidad que se pide es $P(\bar{X}<4)$. Se tipifica para poder usar la tabla de la $N(0,1)$.

$P(\bar{X}<4)=P(Z<{\displaystyle \frac{4-\mathrm{3,5}}{\mathrm{0,225}}})=P(Z<{\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}}{\mathrm{0,225}}})=P(Z<\mathrm{2,22})$

En la tabla de la $N(0,1)$:

$P(Z<\mathrm{2,22})=\mathrm{0,9868}$



La probabilidad de que el tiempo promedio de espera de los 64 estudiantes sea inferior a 4 horas es $\mathrm{0,9868}$.