Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2026

La promotora que organiza el festival ha estudiado datos de ediciones anteriores y ha construido un modelo matemático que aproxima el comportamiento de los compradores. Según este modelo, el número de entradas vendidas para un concierto $E(p)$, expresado en decenas, depende del precio ($p$) en euros de la siguiente forma:

$E(p)={\displaystyle \frac{2000p}{25+p^2}}$

a) Determine el precio al que se deben vender las entradas para que el número vendido sea un máximo relativo, indicando cuántas se venderían en ese caso. Calcule, además, el beneficio neto que obtendría la promotora, en euros, suponiendo que todas las entradas se vendiesen a dicho precio y que cada una tiene un coste fijo de 1 € para la promotora (gastos de organización, personal, etc.). [6 puntos]

b) Calcule el valor de:

${\displaystyle {\int }_5^{15}\frac{2000p}{25+p^2}\mathrm{d}p}$

[4 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{deben}}\mathbf{\text{vender}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{entradas}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{vendido}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{relativo,}}\mathbf{\text{indicando}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{vender}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{caso.}}\mathbf{\text{Calcule,}}\mathbf{\text{adem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{neto}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{obtendr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{promotora,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{euros,}}\mathbf{\text{suponiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{todas}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{entradas}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{vendiesen}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{fijo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{€}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{promotora}}\mathbf{\text{(gastos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{organizaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{personal,}}\mathbf{\text{etc.).}}(6\text{ puntos})$

Se deriva la función y se iguala a cero en busca de los puntos críticos. Se aplica la regla de derivación de un cociente.

$E^{\mathrm{\prime }}(p)={\displaystyle \frac{2000(25+p^2)-2000p\cdot 2p}{(25+p^2{)}^2}}={\displaystyle \frac{50000+2000p^2-4000p^2}{(25+p^2{)}^2}}$

$E^{\mathrm{\prime }}(p)={\displaystyle \frac{2000(25-p^2)}{(25+p^2{)}^2}}$

$E^{\mathrm{\prime }}(p)=0\Rightarrow 25-p^2=0\Rightarrow p^2=25\Rightarrow p=\pm 5$

Se descarta la solución $p=-5$, porque el precio de una entrada no puede ser negativo.

Como el denominador es un cuadrado, siempre positivo, el signo de $E^{\mathrm{\prime }}(p)$ es el del numerador. Se estudia a ambos lados de $p=5$:

$\{\begin{array}{l}\text{Si }p=1,E^{\mathrm{\prime }}(1)={\displaystyle \frac{2000(25-1)}{{26}^2}}>0\\ \text{Si }p=10,E^{\mathrm{\prime }}(10)={\displaystyle \frac{2000(25-100)}{{125}^2}}<0\end{array}$

La función crece en $(0,5)$ y decrece en $(5,+\mathrm{\infty })$.



Como la función pasa de crecer a decrecer en $p=5$, ahí presenta un máximo relativo.

$E(5)={\displaystyle \frac{2000\cdot 5}{25+5^2}}={\displaystyle \frac{10000}{50}}=200$

El número de entradas viene expresado en decenas, así que:

$200\cdot 10=2000\text{ entradas}$

Por último se calcula el beneficio neto. Cada entrada se vende a 5 € y le cuesta 1 € a la promotora, de modo que deja un margen de 4 €:

$\text{Beneficio}=2000(5-1)=2000\cdot 4=8000$

Las entradas deben venderse a $5\text{ €}$; se venderían 2000 entradas y la promotora obtendría un beneficio neto de $8000\text{ €}$.



En el integrando, el numerador es proporcional a la derivada del denominador, ya que

${(25+p^2)}^{\mathrm{\prime }}=2p$

Basta entonces sacar la constante adecuada para reconocer una integral de tipo logarítmico.

$\int {\displaystyle \frac{2000p}{25+p^2}}dp=1000\int {\displaystyle \frac{2p}{25+p^2}}dp=1000\ln \mid 25+p^2\mid$

Como $25+p^2>0$ siempre, el valor absoluto es innecesario. Haciendo uso de la regla de Barrow:

${\int }_5^{15}{\displaystyle \frac{2000p}{25+p^2}}dp=[1000\ln (25+p^2){]}_5^{15}$

$=1000\ln (25+225)-1000\ln (25+25)=1000\ln 250-1000\ln 50$

Se aplica la propiedad del logaritmo de un cociente:

$=1000(\ln 250-\ln 50)=1000\ln {\displaystyle \frac{250}{50}}=1000\ln 5$

$1000\ln 5\approx \mathrm{1609,44}$

El valor de la integral es $1000\ln 5\approx \mathrm{1609,44}$.