Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2021

El crecimiento (en cm) de una variedad de trigo, $C(x)$, en función de la cantidad de fertilizante (en gramos por metro cuadrado) utilizada, $x$, viene dado por la función

$C(x)=2x^3-A{x}^2+Bx+35,0\le x\le 4$

Determine las constantes $A$ y $B$ sabiendo que el crecimiento alcanza su mínimo con una dosis de 3 gramos por metro cuadrado y que para esta dosis las plantas de trigo crecen 8 cm. [2 puntos]

El enunciado da dos condiciones sobre la función: que su derivada se anule en $x=3$, porque allí está el mínimo, y que el crecimiento en ese punto sea de 8 cm. Con ellas se plantea un sistema en $A$ y $B$.

$C^{\mathrm{\prime }}(x)=6x^2-2Ax+B$

Primera condición, extremo en $x=3$:

$C^{\mathrm{\prime }}(3)=0\Rightarrow 54-6A+B=0\Rightarrow B=6A-54$

Segunda condición, el crecimiento en ese punto es de 8 cm:

$C(3)=54-9A+3B+35=8\Rightarrow -9A+3B=-81\Rightarrow -3A+B=-27$

Sustituyendo la primera en la segunda:

$-3A+6A-54=-27\Rightarrow 3A=27\Rightarrow A=9$

$B=6\cdot 9-54=0$

La función de crecimiento queda entonces

$C(x)=2x^3-9x^2+35$

y se comprueba que cumple las dos condiciones:

$C^{\mathrm{\prime }}(x)=6x^2-18x=6x(x-3)\Rightarrow C^{\mathrm{\prime }}(3)=0$

$C(3)=54-81+35=8$

Además, la segunda derivada confirma que en ese punto hay un mínimo, como decía el enunciado.

$C^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=12x-18\Rightarrow C^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(3)=18>0$

Las constantes buscadas son $A=9$ y $B=0$.