Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2023

Una empresa constructora tiene que afrontar gastos de suelo y gastos de edificación, (en miles de euros), que dependen de la distancia al centro, $x$, (en km). Dichos gastos vienen dados, respectivamente, por las funciones

$S(x)=10x+100,0\le x\le 25\text{y}E(x)=-x^2+10x+200,0\le x\le 25$

Determine, justificando las respuestas:

a) La expresión $G(x)$ que indica los gastos totales de la constructora en función de la distancia al centro de la ciudad donde se realice la obra. [0,5 puntos]

b) A qué distancias del centro los gastos de construcción son máximos y mínimos, así como el valor de dichos gastos. [1,5 puntos]

Los gastos totales son la suma de los gastos de suelo y los de edificación.

$G(x)=S(x)+E(x)=(10x+100)+(-x^2+10x+200)$

$G(x)=-x^2+20x+300,0\le x\le 25$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{distancias}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{centro}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{gastos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{construcci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos,}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dichos}}\mathbf{\text{gastos.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Los gastos están definidos en el intervalo cerrado $[0,25]$, de modo que los extremos absolutos se alcanzan en los puntos críticos del interior o en los extremos del intervalo. Derivamos e igualamos a cero.

$G^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x+20$

$G^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow -2x+20=0\Rightarrow x=10$

Se estudia el signo de la derivada a un lado y a otro de ese punto.

$G^{\mathrm{\prime }}(0)=20>0G^{\mathrm{\prime }}(20)=-40+20=-20<0$



Los gastos crecen en $(0,10)$ y decrecen en $(10,25)$, así que en $x=10$ hay un máximo relativo, cosa que confirma la segunda derivada, $G^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-2<0$. Se comparan ahora los valores en el punto crítico y en los extremos del intervalo.

$G(0)=300\text{ miles de euros}$

$G(10)=-100+200+300=400\text{ miles de euros}$

$G(25)=-625+500+300=175\text{ miles de euros}$

Los gastos son máximos a 10 km del centro, donde ascienden a 400 mil euros, y mínimos a 25 km del centro, donde son de 175 mil euros.