Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2021

El beneficio $B(x)$, en euros, que obtiene una empresa por la venta de $x$ unidades de un determinado producto se representa por la función:

$B(x)=-x^2+300x-16100\text{para }x\ge 0.$

a) Calcule el beneficio de vender 110 unidades. [1 punto]

b) Represente gráficamente la función. [3 puntos]

c) ¿Cuántas unidades ha de vender para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál es este beneficio máximo? [3 puntos]

d) ¿Cuántas unidades ha de vender para tener un beneficio igual a 3900 euros? ¿Y para tener un beneficio superior a 3900 euros? [3 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vender}}\mathbf{\text{110}}\mathbf{\text{unidades.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Basta sustituir $x=110$ en la función.

$B(110)=-{110}^2+300\cdot 110-16100=-12100+33000-16100$

$B(110)=4800$

El beneficio de vender 110 unidades es de 4800 euros.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La función es una parábola con el coeficiente de $x^2$ negativo, así que las ramas van hacia abajo y tiene un máximo en el vértice.

$x_V={\displaystyle \frac{-300}{2\cdot (-1)}}=150\Rightarrow B(150)=-{150}^2+300\cdot 150-16100$

$B(150)=-22500+45000-16100=6400\Rightarrow V(150,6400)$

Buscamos los puntos de corte con los ejes, que son los que fijan el dibujo.

$B(x)=0\Rightarrow -x^2+300x-16100=0\Rightarrow x^2-300x+16100=0$

$x={\displaystyle \frac{300\pm \sqrt{90000-64400}}{2}}={\displaystyle \frac{300\pm \sqrt{25600}}{2}}={\displaystyle \frac{300\pm 160}{2}}$

$\{\begin{array}{l}x=70\\ x=230\end{array}$

$B(0)=-16100$

La empresa empieza a tener beneficio a partir de las 70 unidades y vuelve a perder dinero por encima de las 230. Con esos datos —vértice, cortes con el eje de abscisas y el valor del apartado a)— se puede representar la parábola.



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vender}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo?}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El máximo se busca derivando e igualando a cero.

$B^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x+300$

$B^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow -2x+300=0\Rightarrow x=150$

Comprobamos con la segunda derivada que se trata de un máximo.

$B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-2\Rightarrow B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(150)=-2<0$

$B(150)=6400$

Ha de vender 150 unidades, y el beneficio máximo es de 6400 euros.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vender}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{3900}}\mathbf{\text{euros?}}\mathbf{\text{¿Y}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{superior}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{3900}}\mathbf{\text{euros?}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Para la primera pregunta se plantea la ecuación $B(x)=3900$.

$-x^2+300x-16100=3900\Rightarrow -x^2+300x-20000=0$

$x^2-300x+20000=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{300\pm \sqrt{90000-80000}}{2}}={\displaystyle \frac{300\pm 100}{2}}$

$\{\begin{array}{l}x=100\\ x=200\end{array}$

Hay dos cantidades que dan exactamente 3900 euros de beneficio: 100 unidades y 200 unidades.

Para la segunda pregunta se resuelve la inecuación.

$-x^2+300x-16100>3900\Rightarrow x^2-300x+20000<0$

$(x-100)(x-200)<0$

Un producto de dos factores es negativo cuando tienen signos distintos, lo que ocurre entre las dos raíces. Se comprueba con un valor de prueba en cada tramo.

$\text{Si }x=50,(50-100)(50-200)=7500>0$

$\text{Si }x=150,(150-100)(150-200)=-2500<0$

$\text{Si }x=250,(250-100)(250-200)=7500>0$

El beneficio es igual a 3900 euros vendiendo 100 o 200 unidades, y es superior a 3900 euros vendiendo entre 100 y 200 unidades, es decir, para $x\in (100,200)$.