Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

Pregunta 4. Dada la función f(x) = $x^3-2x^2-3x$, se pide:
a) [0.5 puntos] Encontrar la primitiva $F$ de $f$ verificando que $F(2)=0$.
b) [2 puntos] Estudiar y representar gráficamente la función $f$ en todo su dominio. Calcular el área limitada por la curva y el eje $X$ entre $x=-2$ y $x=1$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Encontrar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primitiva}}\mathbf{\text{F}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{f}}\mathbf{\text{verificando}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{F(2)}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{0.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se integra término a término:

$F(x)=\int (x^3-2x^2-3x)dx=\frac{x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+k$

y se impone la condición, poniendo todo con denominador 3:

$F(2)=4-\frac{16}{3}-6+k=-2-\frac{16}{3}+k=-\frac{22}{3}+k=0$

$k=\frac{22}{3}$

La primitiva pedida es

$F(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+\frac{22}{3}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Estudiar}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{representar}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{f}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{dominio.}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{limitada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{curva}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{eje}}\mathbf{\text{X}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{-2}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{1.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

$\mathbf{\text{Dominio:}}\mathbb{R}$, por ser polinómica.

$\mathbf{\text{Cortes:}}{x}^3-2x^2-3x=x(x^2-2x-3)=x(x-3)(x+1)=0$, es decir, $x=-1$, $x=0$ y $x=3$.

$\mathbf{\text{Monoton}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a:}}{f}^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-4x-3=0⟹x={\displaystyle \frac{4\pm \sqrt{16+36}}{6}}={\displaystyle \frac{2\pm \sqrt{13}}{3}}$

es decir, $x\approx -\mathrm{0,535}$ y $x\approx \mathrm{1,869}$. La derivada es positiva, luego negativa, luego positiva:

$\text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo relativo en }(-\mathrm{0,535};\mathrm{0,879})\text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo relativo en }(\mathrm{1,869};-\mathrm{6,064})$

$\mathbf{\text{Curvatura:}}{f}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x-4=0⟹x={\displaystyle \frac{2}{3}}$, punto de inflexión en $(\frac{2}{3};-\mathrm{2,593})$.

$\mathbf{\text{Ramas}}\mathbf{\text{infinitas:}}{\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}f(x)=-\mathrm{\infty }$ y ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)=+\mathrm{\infty }$.



En el intervalo $[-2,1]$ la curva corta al eje en $x=-1$ y $x=0$, así que hay tres trozos. Con $G(x)={\displaystyle \frac{x^4}{4}}-{\displaystyle \frac{2x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}$:

$G(-2)=\frac{10}{3}G(-1)=-\frac{7}{12}G(0)=0G(1)=-\frac{23}{12}$

${\int }_{-2}^{-1}f=-\frac{7}{12}-\frac{10}{3}=-\frac{47}{12}{\int }_{-1}^{0}f=\frac{7}{12}{\int }_0^{1}f=-\frac{23}{12}$

Los trozos primero y tercero quedan por debajo del eje, de modo que el área es

$A=\frac{47}{12}+\frac{7}{12}+\frac{23}{12}=\frac{77}{12}\approx \mathrm{6,417}{\text{u}}^2$