Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

3.Se ha investigado la energía que produce una placa solar f en función del tiempo transcurrido, en horas, desde que amanece (x), obteniéndose que:
$f(x)=\{\begin{array}{ll}10x-x^2& \text{si }0\le x\le 8\\ \frac{9}{4}x& \text{si }8<x\le 12\end{array}$
a) [0,75 puntos] Determina el valor de a para que la energía producida varíe de forma continua al variar el tiempo transcurrido desde que amanece.
b) [1,75 puntos] Considerando el valor de a obtenido en el apartado anterior, estudia y representa gráficamente la función f en todo su dominio. ¿En qué momento del día la placa produce más energía? ¿Cuánta energía produce en ese momento?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{producida}}\mathbf{\text{var}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{variar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{transcurrido}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{amanece.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El cuadernillo oficial define el segundo trozo de la función como ${\displaystyle \frac{a}{x^2}}$; en el texto de arriba aparece mal transcrito, así que se trabaja con la función del examen:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}10x-x^2,& 0\le x\le 8\\ {\displaystyle \frac{a}{x^2}},& 8<x\le 12\end{array}$

Cada trozo es continuo por separado (un polinomio y una función racional cuyo denominador no se anula en $(8,12]$), de modo que el único punto conflictivo es el empalme $x=8$. Se igualan los dos límites laterales:

${\lim }_{x\to 8^{-}}f(x)=10\cdot 8-8^2=80-64=16$

${\lim }_{x\to 8^{+}}f(x)=\frac{a}{64}$

$\frac{a}{64}=16⟹a=\mathbf{\text{1024}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Considerando}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anterior,}}\mathbf{\text{estudia}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{representa}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{f}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{dominio.}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{momento}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{placa}}\mathbf{\text{produce}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nta}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{produce}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{momento?}}\mathbf{\text{[1,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

$\mathbf{\text{Primer}}\mathbf{\text{trozo}}(0\le x\le 8)$: es una parábola con las ramas hacia abajo. Su vértice está donde se anula la derivada:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=10-2x=0⟹x=5f(5)=50-25=25$

La función crece en $(0,5)$ y decrece en $(5,8)$; empieza en $f(0)=0$ y llega a $f(8)=16$.

$\mathbf{\text{Segundo}}\mathbf{\text{trozo}}(8<x\le 12)$: la derivada es

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{2048}{x^3}<0$

así que sigue decreciendo, desde el 16 del empalme hasta

$f(12)=\frac{1024}{144}\approx \mathrm{7,11}$



El máximo absoluto es el vértice de la parábola: la placa produce más energía $\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{horas}}\mathbf{\text{despu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{amanecer}}$, y en ese momento produce $\mathbf{\text{25}}\mathbf{\text{unidades}}$ de energía. Tiene sentido físico: la producción sube durante la mañana, alcanza su tope hacia el mediodía solar y cae después.