Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

4 A la hora de estudiar la relación entre el beneficio mensual de una empresa y cantidad de producto fabricado, se representa por $f(x)$ el beneficio mensual, en millones de euros, si se han fabricado x toneladas de producto ese mes. Si en un mes se fabrican como mucho 100 toneladas de producto, el beneficio mensual se puede considerar que es $\frac{1}{900}(-x^2+100x-1600)$ millones de euros, mientras que si se fabrican más de 100 toneladas de producto, el beneficio viene dado por $1-\frac{120}{x}$ millones de euros.
a) [1,75 puntos] Obtén la expresión de la función $f$. Estudia y representa gráficamente la función $f$ en el intervalo [0, ∞).
b) [0,75 puntos] ¿Qué cantidad debe fabricar para maximizar el beneficio? ¿A cuánto asciende dicho beneficio? ¿Qué cantidad hay que fabricar para que el beneficio sea positivo?\n

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Obt}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{f.}}\mathbf{\text{Estudia}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{representa}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{f}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{0}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{adelante.}}\mathbf{\text{[1,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$










Traduciendo el enunciado, la función es

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{900}}(-x^2+100x-1600)& \text{si }0\le x\le 100\\ 1-{\displaystyle \frac{120}{x}}& \text{si }x>100\end{array}$

con $x$ en toneladas y $f(x)$ en millones de euros.





$\mathbf{\text{Primer}}\mathbf{\text{tramo}}$: es una parábola con el coeficiente principal negativo, luego tiene un máximo en su vértice:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{900}(-2x+100)=0\Rightarrow x=50$

$f(50)=\frac{1}{900}(-2500+5000-1600)=\frac{900}{900}=1$

Corta al eje $X$ donde se anula el paréntesis:

$x^2-100x+1600=0\Rightarrow x=\frac{100\pm \sqrt{10000-6400}}{2}=\frac{100\pm 60}{2}$

es decir, en $x=20$ y $x=80$. Empieza en $f(0)=-16\mathrm{/}9=-\mathrm{1,78}$, crece hasta el vértice y decrece después.

$\mathbf{\text{Segundo}}\mathbf{\text{tramo}}$: la función $1-120\mathrm{/}x$ es creciente, porque su derivada $120\mathrm{/}{x}^2$ es positiva, y tiene la asíntota horizontal $y=1$. Corta al eje en $x=120$.

$\mathbf{\text{Continuidad}}$: en el punto de empalme los dos trozos no coinciden,

$f(100)=\frac{-1600}{900}=-\mathrm{1,78}{\lim }_{x\to {100}^{+}}f(x)=1-\frac{120}{100}=-\mathrm{0,2}$

así que la función presenta una discontinuidad de salto en $x=100$: pasar de 100 toneladas mejora bruscamente el beneficio (aunque siga siendo negativo).

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{fabricar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio?}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{asciende}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{beneficio?}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{fabricar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{positivo?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

En el primer tramo el beneficio máximo es $1$ millón de euros, con 50 toneladas. En el segundo, la función crece siempre pero se acerca a 1 sin alcanzarlo nunca, porque $y=1$ es una asíntota:

$1-\frac{120}{x}<1\text{para todo }x$

De modo que el máximo absoluto se alcanza fabricando $\mathbf{\text{50}}\mathbf{\text{toneladas}}$, con un beneficio de $\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{mill}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{euros}}$.

El beneficio es positivo donde la gráfica queda por encima del eje. En el primer tramo, entre las dos raíces:

$20<x<80$

y en el segundo, cuando

$1-\frac{120}{x}>0⟺x>120$

Hay que fabricar, por tanto, entre 20 y 80 toneladas, o bien más de 120. Producir entre 80 y 120 toneladas da pérdidas, y por debajo de 20 también.