Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

4.. Se ha investigado el tiempo en minutos (f) que se tarda en realizar cierta prueba de atletismo en función del tiempo de entrenamiento en días (x) de los deportistas, obteniéndose que: $f(x)=2+\frac{300}{x+30}$, $x\ge 0$.
a) [2 puntos] Estudia y representa gráficamente la función f en todo su dominio. ¿Aumenta en algún momento el tiempo que se tarda en realizar la prueba?
b) [0,5 puntos] Por mucho que entrene un deportista, ¿será capaz de hacer la prueba en menos de 2 minutos? ¿Cuánto tiempo hay que entrenar para realizar la prueba en menos de 4 minutos?.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudia}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{representa}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{f}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{dominio.}}\mathbf{\text{¿Aumenta}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{alg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{momento}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{tarda}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{realizar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{prueba?}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La función es $f(x)=2+{\displaystyle \frac{300}{x+30}}$, definida para $x\ge 0$ (días de entrenamiento). En ese intervalo el denominador nunca se anula, porque $x+30\ge 30$, de modo que la función es continua en todo su dominio y no tiene asíntotas verticales.

$\mathbf{\text{Valor}}\mathbf{\text{inicial:}}f(0)=2+{\displaystyle \frac{300}{30}}=12$ minutos, el tiempo de quien no ha entrenado nada.

$\mathbf{\text{Monoton}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a:}}{f}^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{300}{(x+30{)}^2}}<0$ para todo $x\ge 0$.

La derivada es negativa en todo el dominio, así que la función es $\mathbf{\text{estrictamente}}\mathbf{\text{decreciente}}$ y no tiene máximos ni mínimos relativos. Por tanto, $\mathbf{\text{no}}$: el tiempo de la prueba no aumenta en ningún momento, cuanto más se entrena menos se tarda.

$\mathbf{\text{As}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntota}}\mathbf{\text{horizontal:}}{\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}(2+{\displaystyle \frac{300}{x+30}})=2$, la recta $y=2$.



La mejora es muy rápida al principio y se va estancando: los primeros días de entrenamiento restan muchos minutos y los últimos, casi ninguno.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Por}}\mathbf{\text{mucho}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{entrene}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{deportista,}}\mathbf{\text{¿ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{capaz}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{hacer}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{prueba}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{minutos?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{entrenar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{realizar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{prueba}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{minutos?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El cociente ${\displaystyle \frac{300}{x+30}}$ es positivo para todo $x\ge 0$, luego

$f(x)=2+\frac{300}{x+30}>2$

siempre. La asíntota $y=2$ es una barrera que la curva se acerca pero nunca alcanza: $\mathbf{\text{no}}$, por mucho que entrene, nadie bajará de los 2 minutos.

Para la segunda pregunta se resuelve la inecuación:

$2+\frac{300}{x+30}<4⟹\frac{300}{x+30}<2$

Como $x+30>0$, se puede multiplicar sin cambiar el sentido:

$300<2(x+30)⟹300<2x+60⟹x>120$

Hay que entrenar $\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{120}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as}}$. En $x=120$ se tarda exactamente 4 minutos, y a partir de ahí menos.