Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

A.2. [hasta 2,5 puntos]
La siguiente función $I(t)$ representa las ganancias/pérdidas (en miles de euros) de una empresa desde que se fundó:
$I(t)={\displaystyle \frac{8t-16}{t+1}},t\ge 0$
donde t es el tiempo pasado (en años), e $I(t)$ son las ganancias/pérdidas.

a) [0,4 puntos] Realiza la representación gráfica de la función $I(t)$.
b) [0,3 puntos] ¿Cuánto fue la inversión inicial (capital inicial)?
c) [0,3 puntos] ¿En qué año ganó 5.600 €?
d) [0,5 puntos] ¿A partir de qué año la empresa comienza a obtener ganancias?
e) [0,3 puntos] Analiza la evolución de la función (intervalos de crecimiento y decrecimiento).
f) [0,7 puntos] En caso de seguir así, ¿cuál es la tendencia de la evolución de las ganancias/pérdidas? ¿La relacionas con alguna característica de la función?

Se empieza por lo que hace falta en varios apartados: la derivada y el límite en el infinito.

$I^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{8(t+1)-(8t-16)}{(t+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{8t+8-8t+16}{(t+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{24}{(t+1{)}^2}}$

${\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{8t-16}{t+1}}=8$



La función es un cociente de polinomios del mismo grado, de modo que tiene asíntota horizontal, y en el dominio $t\ge 0$ el denominador no se anula nunca. Con los valores que se calculan en los apartados siguientes queda determinada.

$I(0)={\displaystyle \frac{-16}{1}}=-16;I(2)={\displaystyle \frac{0}{3}}=0;y=8\text{as}\acute{\text{ı}}\text{ntota horizontal}$



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,3}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{fue}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{inversi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{inicial}}\mathbf{\text{(capital}}\mathbf{\text{inicial)?}}$

La inversión inicial es lo que la empresa tenía invertido en el momento de fundarse, es decir, el valor de la función en $t=0$.

$I(0)={\displaystyle \frac{8\cdot 0-16}{0+1}}=-16$

El signo negativo indica pérdida, es decir, dinero puesto por la empresa. La inversión inicial fue de $16$ miles de euros, o sea $16000$ euros.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[0,3}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{gan}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{5.600}}\mathbf{\text{€?}}$

La función viene dada en miles de euros, de modo que $5600$ euros son $\mathrm{5,6}$ unidades de la función.

${\displaystyle \frac{8t-16}{t+1}}=\mathrm{5,6}\Rightarrow 8t-16=\mathrm{5,6}(t+1)=\mathrm{5,6}t+\mathrm{5,6}$

$\mathrm{2,4}t=\mathrm{21,6}\Rightarrow t=9$

La empresa ganó $5600$ euros en el año $9$.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{comienza}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{ganancias?}}$

Hay ganancias cuando la función es positiva. Como el denominador es siempre positivo para $t\ge 0$, el signo lo decide el numerador.

$I(t)>0\Rightarrow 8t-16>0\Rightarrow t>2$

En $t=2$ la función se anula: es el punto de equilibrio, en el que la empresa ha recuperado exactamente lo invertido. A partir del año $2$ la empresa comienza a obtener ganancias.

$\mathbf{\text{e)}}\mathbf{\text{[0,3}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Analiza}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{evoluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{(intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento).}}$

Basta mirar el signo de la derivada, que ya está calculada.

$I^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{24}{(t+1{)}^2}}>0\text{ para todo }t\ge 0$

El numerador es una constante positiva y el denominador un cuadrado, de modo que la derivada nunca se anula ni cambia de signo. La función es creciente en todo el dominio $[0,+\mathrm{\infty })$, y no tiene ni máximos ni mínimos relativos.

$\mathbf{\text{f)}}\mathbf{\text{[0,7}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{seguir}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{tendencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{evoluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{ganancias/p}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rdidas?}}\mathbf{\text{¿La}}\mathbf{\text{relacionas}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{alguna}}\mathbf{\text{caracter}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{stica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}$

La tendencia a largo plazo la da el límite en el infinito. Al ser un cociente de polinomios del mismo grado, el límite es el cociente de los coeficientes principales.

${\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{8t-16}{t+1}}={\displaystyle \frac{8}{1}}=8$

$y=8\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota horizontal de }I(t)$

Las ganancias seguirán creciendo, pero cada vez más despacio, y se irán acercando a los $8$ miles de euros sin llegar a alcanzarlos nunca. La característica de la función que lo explica es la asíntota horizontal $y=8$, que actúa como techo de las ganancias.