Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

B.2 [hasta 2,5 puntos]

a) [0,9 puntos] Asocia, razonadamente, las funciones:
$A)f(x)={\displaystyle \frac{x-1}{x}};B)g(x)={\displaystyle \frac{x}{x^2-1}};C)h(x)={\displaystyle \frac{x^2-1}{x}}$
con las siguientes representaciones gráficas:



b) [1,6 puntos] En cada caso, a partir de su representación gráfica, indica el dominio, el recorrido y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,9}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Asocia,}}\mathbf{\text{razonadamente,}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{funciones}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{siguientes}}\mathbf{\text{representaciones}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficas.}}$

Lo que distingue a las tres gráficas son sus asíntotas, de modo que basta con estudiar las de cada función y compararlas con el dibujo.

i) Función $A$. Se anula el denominador para localizar la asíntota vertical, y se calcula el límite en el infinito para la horizontal.

$f(x)={\displaystyle \frac{x-1}{x}}=1-{\displaystyle \frac{1}{x}}\Rightarrow x=0\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical}$

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x-1}{x}}=1\Rightarrow y=1\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota horizontal}$

ii) Función $B$. El denominador se anula en dos puntos y el grado del numerador es menor que el del denominador.

$g(x)={\displaystyle \frac{x}{x^2-1}}\Rightarrow x^2-1=0\Rightarrow x=-1\text{ y }x=1\text{son as}\acute{\text{ı}}\text{ntotas verticales}$

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x}{x^2-1}}=0\Rightarrow y=0\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota horizontal}$

iii) Función $C$. El grado del numerador supera en uno al del denominador, así que en lugar de asíntota horizontal hay asíntota oblicua, que se lee directamente al dividir.

$h(x)={\displaystyle \frac{x^2-1}{x}}=x-{\displaystyle \frac{1}{x}}\Rightarrow x=0\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical}$

$y=x\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota oblicua}$

La gráfica $(1)$ tiene dos asíntotas verticales, la $(2)$ tiene una asíntota oblicua y la $(3)$ tiene una asíntota horizontal distinta del eje de abscisas. Por tanto:

$A\to (3),B\to (1),C\to (2)$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1,6}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{caso,}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{representaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica,}}\mathbf{\text{indica}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{dominio,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{recorrido}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

i) Función $A$, gráfica $(3)$. El dominio excluye el punto donde se anula el denominador, y el recorrido excluye el valor de la asíntota horizontal, que la curva no llega a alcanzar.

$\text{Dom}(f)=\mathbb{R}-\{0\};\text{Im}(f)=\mathbb{R}-\{1\}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2}}>0\text{ para todo }x\mathrm{\ne }0$

La función es creciente en $(-\mathrm{\infty },0)$ y en $(0,+\mathrm{\infty })$, y no tiene extremos.

ii) Función $B$, gráfica $(1)$. El dominio excluye las dos asíntotas verticales, y la gráfica muestra que la curva toma todos los valores reales.

$\text{Dom}(g)=\mathbb{R}-\{-1,1\};\text{Im}(g)=\mathbb{R}$

$g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{(x^2-1)-x\cdot 2x}{{(x^2-1)}^2}}={\displaystyle \frac{-x^2-1}{{(x^2-1)}^2}}<0$

El numerador es siempre negativo y el denominador siempre positivo, de modo que la función es decreciente en $(-\mathrm{\infty },-1)$, en $(-1,1)$ y en $(1,+\mathrm{\infty })$, y tampoco tiene extremos.

iii) Función $C$, gráfica $(2)$. El dominio excluye el cero y, al haber asíntota oblicua, la curva recorre todos los valores reales.

$\text{Dom}(h)=\mathbb{R}-\{0\};\text{Im}(h)=\mathbb{R}$

$h^{\mathrm{\prime }}(x)=1+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}>0\text{ para todo }x\mathrm{\ne }0$

La función es creciente en $(-\mathrm{\infty },0)$ y en $(0,+\mathrm{\infty })$, y no tiene extremos.