Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

A.2 [hasta 2,5 puntos]

a) [0,9 puntos] Asocia, razonadamente, las funciones:
$A)f(x)={\displaystyle \frac{x}{x^2-1}};B)g(x)={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}{x}};C)h(x)=\sqrt[3]{x}$
con las siguientes representaciones gráficas:



b) [1,6 puntos] En cada caso, a partir de su representación gráfica, indica el dominio y recorrido de la función.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,9}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Asocia,}}\mathbf{\text{razonadamente,}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{funciones}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{siguientes}}\mathbf{\text{representaciones}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficas.}}$

Basta con estudiar de cada función lo que la distingue a primera vista: dónde está definida y qué forma tiene.

i) Función $A$. Es un cociente cuyo denominador se anula en dos puntos, así que tiene dos asíntotas verticales.

$f(x)={\displaystyle \frac{x}{x^2-1}}\Rightarrow x^2-1=0\Rightarrow x=-1\text{ y }x=1$

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x}{x^2-1}}=0\Rightarrow y=0\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota horizontal}$

ii) Función $B$. El valor absoluto obliga a partirla en dos trozos, y en cada uno resulta constante.

$g(x)={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}{x}}=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{-x}{x}}=-1& \text{si }x<0\\ {\displaystyle \frac{x}{x}}=1& \text{si }x>0\end{array}$

Es una función escalonada, con un salto en el origen, donde ni siquiera está definida.

iii) Función $C$. La raíz de índice impar está definida para cualquier número real, incluidos los negativos, y es creciente en todo $\mathbb{R}$.

$h(x)=\sqrt[3]{x}$

La gráfica $(1)$ es la escalonada, la $(2)$ es la de una curva definida en todo el eje real y la $(3)$ es la que tiene dos asíntotas verticales. Por tanto:

$A\to (3),B\to (1),C\to (2)$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1,6}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{caso,}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{representaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica,}}\mathbf{\text{indica}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{recorrido}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

i) Función $A$, gráfica $(3)$. El dominio excluye los dos puntos donde se anula el denominador, y la gráfica muestra que las tres ramas barren todos los valores reales.

$\text{Dom}(f)=\mathbb{R}-\{-1,1\};\text{Im}(f)=\mathbb{R}$

ii) Función $B$, gráfica $(1)$. El dominio excluye el cero, porque allí se anula el denominador, y la función solo toma dos valores.

$\text{Dom}(g)=\mathbb{R}-\{0\};\text{Im}(g)=\{-1,1\}$

iii) Función $C$, gráfica $(2)$. La raíz cúbica está definida para todo número real y toma también todos los valores reales.

$\text{Dom}(h)=\mathbb{R};\text{Im}(h)=\mathbb{R}$