Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

EJERCICIO 4. Análisis.
Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{x}{a}}+{\displaystyle \frac{a}{x}}$, $x\mathrm{\ne }0$, $a\mathrm{\ne }0$

a) Calcule los valores del parámetro "a" para que $f(x)$ tenga un punto crítico en $x_0=3$.
b) Para a=3, estudie el crecimiento y decrecimiento de la función y sus máximos y mínimos, si existen. Estudie también sus intervalos de concavidad y convexidad y sus puntos de inflexión, si existen.

Un punto crítico es aquel en el que se anula la derivada, así que derivamos respecto de $x$ tratando $a$ como una constante.

$f(x)={\displaystyle \frac{x}{a}}+{\displaystyle \frac{a}{x}}={\displaystyle \frac{1}{a}}x+a{x}^{-1}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{a}}-{\displaystyle \frac{a}{x^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(3)=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{a}}-{\displaystyle \frac{a}{9}}=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{a}}={\displaystyle \frac{a}{9}}\Rightarrow a^2=9$

$a=\pm 3$

Los valores del parámetro son $a=3$ y $a=-3$; ambos son válidos porque el enunciado solo excluye $a=0$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Para}}\mathbf{\text{a=3,}}\mathbf{\text{estudie}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{existen.}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{tambi}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{concavidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{convexidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{inflexi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{existen.}}$

Con $a=3$ la función y su derivada quedan:

$f(x)={\displaystyle \frac{x}{3}}+{\displaystyle \frac{3}{x}}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{3}{x^2}}={\displaystyle \frac{x^2-9}{3x^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x^2-9=0\Rightarrow x=\pm 3$

El punto $x=0$ no pertenece al dominio, así que hay que tenerlo en cuenta al estudiar el signo. El denominador $3x^2$ es siempre positivo, de modo que el signo de la derivada es el de $x^2-9$.

$\{\begin{array}{l}{f}^{\mathrm{\prime }}(-4)=\frac{16-9}{48}>0\\ f^{\mathrm{\prime }}(-1)=\frac{1-9}{3}<0\\ f^{\mathrm{\prime }}(1)=\frac{1-9}{3}<0\\ f^{\mathrm{\prime }}(4)=\frac{16-9}{48}>0\end{array}$



La función crece en $(-\mathrm{\infty },-3)$ y en $(3,+\mathrm{\infty })$, y decrece en $(-3,0)$ y en $(0,3)$.

$f(-3)=-1-1=-2f(3)=1+1=2$

Hay un máximo relativo en $(-3,-2)$, porque la función pasa de crecer a decrecer, y un mínimo relativo en $(3,2)$, porque pasa de decrecer a crecer.

Para la curvatura calculamos la segunda derivada.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{6}{x^3}}$

$\{\begin{array}{l}\text{Si }x<0,f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0\\ \text{Si }x>0,f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0\end{array}$

La función es cóncava en $(-\mathrm{\infty },0)$ y convexa en $(0,+\mathrm{\infty })$. La segunda derivada no se anula nunca y el único punto donde cambia de signo, $x=0$, no pertenece al dominio, de modo que la función no tiene puntos de inflexión.