Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

Sea la función $f(x)=x\cdot (x-3{)}^2$

i) Calcule los puntos de corte con los ejes. (1 punto)

ii) Calcule los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (3 puntos)

iii) Dibuje el recinto limitado por la función $f(x)$ y el eje OX. (2 puntos)

iv) Calcule el área de dicho recinto. (4 puntos)

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes.}}(1\text{ punto})$

Corte con el eje $OY$: se hace $x=0$.

$f(0)=0\cdot (0-3{)}^2=0\Rightarrow (0,0)$

Cortes con el eje $OX$: se hace $f(x)=0$.

$x(x-3{)}^2=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=3\end{array}$

Los puntos de corte son $(0,0)$ y $(3,0)$.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{extremos}}\mathbf{\text{relativos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}(3\text{ puntos})$

Se desarrolla la función antes de derivar:

$f(x)=x(x^2-6x+9)=x^3-6x^2+9x$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1\\ x=3\end{array}$

Se estudia el signo de la derivada en los tres tramos:

$f^{\mathrm{\prime }}(0)=9>0$, la función crece.

$f^{\mathrm{\prime }}(2)=3(1)(-1)=-3<0$, la función decrece.

$f^{\mathrm{\prime }}(4)=3\cdot 3\cdot 1=9>0$, la función crece.



La función crece en $(-\mathrm{\infty },1)\cup (3,+\mathrm{\infty })$ y decrece en $(1,3)$.

En $x=1$ la derivada pasa de positiva a negativa, luego hay un máximo relativo:

$f(1)=1-6+9=4\Rightarrow (1,4)$

En $x=3$ la derivada pasa de negativa a positiva, luego hay un mínimo relativo:

$f(3)=27-54+27=0\Rightarrow (3,0)$



El recinto queda entre los dos cortes con el eje de abscisas, $x=0$ y $x=3$. En ese intervalo la función es positiva, porque $x>0$ y $(x-3{)}^2>0$, así que la curva va por encima del eje y lo toca en los dos extremos.



$\mathbf{\text{iv)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{recinto.}}(4\text{ puntos})$

Como la función no cambia de signo dentro del intervalo, el área es directamente la integral definida.

$A={\int }_0^3(x^3-6x^2+9x)dx={[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-2x^3+{\displaystyle \frac{9x^2}{2}}]}_0^3$

$A=({\displaystyle \frac{81}{4}}-54+{\displaystyle \frac{81}{2}})-0={\displaystyle \frac{81+162-216}{4}}={\displaystyle \frac{27}{4}}$

El área del recinto es ${\displaystyle \frac{27}{4}}=\mathrm{6,75}$ unidades de área.