Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

Dada la función $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+1$, responda a las siguientes cuestiones:

i) Determine el valor de los parámetros $a$ y $b$ de forma que la función tenga un extremo relativo en el punto de abscisa $x=1$ y la recta tangente a la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x=0$ tenga pendiente $m=-2$. (4 puntos)

ii) Tomando los valores $a=-2$ y $b=-4$, determine los extremos relativos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de la función $f(x)$. (6 puntos)

Las dos condiciones se traducen en dos ecuaciones sobre la derivada, porque un extremo relativo anula la derivada y la pendiente de la tangente es el valor de la derivada.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+2ax+b$

Extremo relativo en $x=1$:

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=0\Rightarrow 3+2a+b=0$

Pendiente $-2$ en $x=0$:

$f^{\mathrm{\prime }}(0)=-2\Rightarrow b=-2$

Se sustituye en la primera ecuación:

$3+2a-2=0\Rightarrow 2a=-1\Rightarrow a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

Los parámetros son $a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ y $b=-2$.



Con esos valores la función queda

$f(x)=x^3-2x^2-4x+1$

Se deriva y se iguala a cero en busca de los puntos críticos.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-4x-4=(3x+2)(x-2)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\\ x=2\end{array}$

Se estudia el signo de la derivada en los tres tramos:

$f^{\mathrm{\prime }}(-1)=3+4-4=3>0$, la función crece.

$f^{\mathrm{\prime }}(0)=-4<0$, la función decrece.

$f^{\mathrm{\prime }}(3)=27-12-4=11>0$, la función crece.



La función crece en $(-\mathrm{\infty },-{\displaystyle \frac{2}{3}})\cup (2,+\mathrm{\infty })$ y decrece en $(-{\displaystyle \frac{2}{3}},2)$.

En $x=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ la derivada pasa de positiva a negativa, luego hay un máximo relativo:

$f(-{\displaystyle \frac{2}{3}})=-{\displaystyle \frac{8}{27}}-{\displaystyle \frac{8}{9}}+{\displaystyle \frac{8}{3}}+1={\displaystyle \frac{67}{27}}\approx \mathrm{2,48}$

En $x=2$ la derivada pasa de negativa a positiva, luego hay un mínimo relativo:

$f(2)=8-8-8+1=-7$

La curvatura la da el signo de la segunda derivada.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x-4$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{2}{3}}$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=-4<0$, la función es cóncava.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=2>0$, la función es convexa.



La función es cóncava en $(-\mathrm{\infty },{\displaystyle \frac{2}{3}})$ y convexa en $({\displaystyle \frac{2}{3}},+\mathrm{\infty })$.

Como la segunda derivada cambia de signo en $x={\displaystyle \frac{2}{3}}$, ahí hay un punto de inflexión:

$f\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)={\displaystyle \frac{8}{27}}-{\displaystyle \frac{8}{9}}-{\displaystyle \frac{8}{3}}+1=-{\displaystyle \frac{61}{27}}\approx -\mathrm{2,26}$

El punto de inflexión es $({\displaystyle \frac{2}{3}},-{\displaystyle \frac{61}{27}})$.