Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

Considere las funciones $f(x)=x+3$ y $g(x)=-x^2+4x+3$.

i) Calcule la derivada de la función $g(x)$ en el punto $x=1$, aplicando la definición de derivada. (3 puntos)

ii) Dibuje el recinto del plano comprendido entre las funciones $f(x)$ y $g(x)$. Calcule el área de dicho recinto. (7 puntos)

La definición de derivada en un punto es

$g^{\mathrm{\prime }}(a)={\lim }_{h\to 0}{\displaystyle \frac{g(a+h)-g(a)}{h}}$

Se calculan las dos imágenes que intervienen:

$g(1)=-1^2+4\cdot 1+3=6$

$g(1+h)=-(1+h{)}^2+4(1+h)+3=-(1+2h+h^2)+4+4h+3$

$g(1+h)=-1-2h-h^2+7+4h=6+2h-h^2$

Se forma el cociente incremental y se simplifica:

${\displaystyle \frac{g(1+h)-g(1)}{h}}={\displaystyle \frac{6+2h-h^2-6}{h}}={\displaystyle \frac{2h-h^2}{h}}={\displaystyle \frac{h(2-h)}{h}}=2-h$

$g^{\mathrm{\prime }}(1)={\lim }_{h\to 0}(2-h)=2$

La derivada de $g(x)$ en $x=1$ vale $2$.



Los límites de integración son los puntos de corte de las dos curvas.

$f(x)=g(x)\Rightarrow x+3=-x^2+4x+3\Rightarrow x^2-3x=0\Rightarrow x(x-3)=0$

$\{\begin{array}{l}x=0\\ x=3\end{array}$

Entre esos dos valores hay que ver cuál de las dos gráficas va por encima. Tomando un punto intermedio:

$g(1)=6$ y $f(1)=4$, luego $g(x)>f(x)$ en $(0,3)$.

El recinto queda limitado por arriba por la parábola y por abajo por la recta.



El área es la integral de la diferencia:

$A={\int }_0^3(g(x)-f(x))dx={\int }_0^3(-x^2+4x+3-x-3)dx={\int }_0^3(-x^2+3x)dx$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

$A={[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}]}_0^3=(-9+{\displaystyle \frac{27}{2}})-0={\displaystyle \frac{-18+27}{2}}={\displaystyle \frac{9}{2}}$

El área del recinto es ${\displaystyle \frac{9}{2}}=\mathrm{4,5}$ unidades de área.