Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2026

Dada la función $f(x)=a{x}^2+5x+{\displaystyle \frac{b}{x}}$, responda a las siguientes cuestiones:

i) Calcule los valores de $a$ y $b$ para que la función tenga un extremo relativo en el punto $(1,4)$. (1.25 puntos)

ii) Utilizando los valores $a=2$ y $b=0$, determine la ecuación de la recta tangente a la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x=1$. (1.25 puntos)

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{y}}\mathit{b}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{extremo}}\mathbf{\text{relativo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">4</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}(\mathrm{1,25}\text{ puntos})$

Que la función tenga un extremo relativo en el punto $(1,4)$ impone dos condiciones: que la gráfica pase por ese punto y que la derivada se anule en él.

Se impone primero que el punto pertenezca a la gráfica:

$f(1)=4\Rightarrow a\cdot 1^2+5\cdot 1+{\displaystyle \frac{b}{1}}=4\Rightarrow a+b+5=4\Rightarrow a+b=-1$

Se deriva la función escribiendo el último sumando como una potencia:

$f(x)=a{x}^2+5x+b{x}^{-1}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=2ax+5-b{x}^{-2}=2ax+5-{\displaystyle \frac{b}{x^2}}$

Se impone ahora que la derivada se anule en $x=1$:

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=0\Rightarrow 2a+5-b=0\Rightarrow b=2a+5$

Se reúnen las dos condiciones en un sistema y se resuelve por sustitución:

$\{\begin{array}{l}a+b=-1\\ b=2a+5\end{array}\Rightarrow a+2a+5=-1\Rightarrow 3a=-6\Rightarrow a=-2$

$b=2\cdot (-2)+5=1$

Los valores pedidos son $a=-2$ y $b=1$.



Con esos valores la función queda

$f(x)=2x^2+5x$

La recta tangente en un punto de abscisa $x_0$ tiene por ecuación $y-f(x_0)=f^{\mathrm{\prime }}(x_0)(x-x_0)$, así que hacen falta la ordenada y la pendiente en $x=1$.

$f(1)=2\cdot 1^2+5\cdot 1=7$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=4x+5\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(1)=4+5=9$

Se sustituye en la ecuación de la recta:

$y-7=9(x-1)\Rightarrow y=9x-9+7$

La recta tangente a $f(x)$ en el punto de abscisa $x=1$ es $y=9x-2$.