Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

Considere la función $f(x)=\sqrt{5+x^2}$.

i) Calcule la ecuación de la recta tangente a la función $f(x)$ en el punto $x=-2$. (4 puntos)

ii) Calcule ${\displaystyle \int x\cdot f(x)dx}$. (3 puntos)

iii) Calcule la derivada de la función $g(x)=6\ln (5-3x)+3x^2\mathrm{sen}(7x-5)$. (3 puntos)

La recta tangente en un punto de abscisa $x_0$ tiene por ecuación $y-f(x_0)=f^{\mathrm{\prime }}(x_0)(x-x_0)$, así que hacen falta la ordenada y la pendiente en $x=-2$.

$f(-2)=\sqrt{5+(-2{)}^2}=\sqrt{9}=3$

Se deriva la función como una raíz compuesta, con ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{2\sqrt{u}}}$:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2x}{2\sqrt{5+x^2}}}={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{5+x^2}}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(-2)={\displaystyle \frac{-2}{\sqrt{9}}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$

Se sustituye en la ecuación de la recta:

$y-3=-{\displaystyle \frac{2}{3}}(x+2)\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x-{\displaystyle \frac{4}{3}}+3$

La recta tangente es $y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+{\displaystyle \frac{5}{3}}$.



La integral es

$\int x\sqrt{5+x^2}dx=\int x{(5+x^2)}^{1\mathrm{/}2}dx$

El factor $x$ es, salvo la constante 2, la derivada de $5+x^2$, así que se trata de una integral inmediata de tipo potencia. Se ajusta la constante multiplicando y dividiendo por 2:

$\int x{(5+x^2)}^{1\mathrm{/}2}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}\int 2x{(5+x^2)}^{1\mathrm{/}2}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{{(5+x^2)}^{3\mathrm{/}2}}{3\mathrm{/}2}}$

$\int x\sqrt{5+x^2}dx={\displaystyle \frac{1}{3}}\sqrt{{(5+x^2)}^3}+C$



Se deriva sumando por sumando. El primero es un logaritmo compuesto y el segundo un producto en el que el segundo factor también es compuesto.

${(6\ln (5-3x))}^{\mathrm{\prime }}=6\cdot {\displaystyle \frac{-3}{5-3x}}={\displaystyle \frac{-18}{5-3x}}$

Para el segundo sumando se aplica la regla del producto:

${(3x^2\mathrm{sen}(7x-5))}^{\mathrm{\prime }}=6x\mathrm{sen}(7x-5)+3x^2\cos (7x-5)\cdot 7$

$=6x\mathrm{sen}(7x-5)+21x^2\cos (7x-5)$

Sumando los dos resultados:

$g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-18}{5-3x}}+6x\mathrm{sen}(7x-5)+21x^2\cos (7x-5)$