Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

La primera derivada de cierta función $f(x)$ viene dada por $f^{\mathrm{\prime }}(x)=x\cdot (x-2{)}^2$.

i) Determine los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$. (3 puntos)

ii) Determine los intervalos de concavidad y convexidad. ¿Para qué valores de $x$ la función $f(x)$ presenta puntos de inflexión? (4 puntos)

iii) Determine $f(x)$ sabiendo que $f(0)=5$. (3 puntos)

Los puntos críticos son los que anulan la derivada, que en este caso viene dada directamente en el enunciado.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x\cdot (x-2{)}^2=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}$

El factor $(x-2{)}^2$ es un cuadrado y por tanto nunca es negativo, así que el signo de la derivada coincide con el signo de $x$ salvo en $x=2$, donde se anula.

$f^{\mathrm{\prime }}(-1)=(-1)\cdot (-3{)}^2=-9<0$, la función decrece.

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=1\cdot (-1{)}^2=1>0$, la función crece.

$f^{\mathrm{\prime }}(3)=3\cdot 1^2=3>0$, la función crece.



La función decrece en $(-\mathrm{\infty },0)$ y crece en $(0,+\mathrm{\infty })$.

En $x=0$ la derivada pasa de negativa a positiva, así que hay un mínimo relativo. En $x=2$ la derivada se anula pero no cambia de signo, de modo que no hay extremo relativo: es un punto de tangente horizontal dentro de un tramo creciente.



La curvatura la da el signo de la segunda derivada. Se desarrolla primero la primera derivada:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=x(x-2{)}^2=x(x^2-4x+4)=x^3-4x^2+4x$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-8x+4$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 3x^2-8x+4=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{64-48}}{6}}={\displaystyle \frac{8\pm 4}{6}}$

$\{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{2}{3}}\\ x=2\end{array}$

Se estudia el signo de la segunda derivada en los tres tramos:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=4>0$, la función es convexa.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=3-8+4=-1<0$, la función es cóncava.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(3)=27-24+4=7>0$, la función es convexa.



La función es convexa en $(-\mathrm{\infty },{\displaystyle \frac{2}{3}})\cup (2,+\mathrm{\infty })$ y cóncava en $({\displaystyle \frac{2}{3}},2)$.

En $x={\displaystyle \frac{2}{3}}$ y en $x=2$ la segunda derivada cambia de signo, de modo que la función presenta un punto de inflexión en cada uno de ellos.



La función se recupera integrando su derivada, ya desarrollada en el apartado anterior.

$f(x)=\int (x^3-4x^2+4x)dx={\displaystyle \frac{x^4}{4}}-{\displaystyle \frac{4x^3}{3}}+2x^2+C$

Se determina la constante con la condición $f(0)=5$:

$f(0)={\displaystyle \frac{0}{4}}-{\displaystyle \frac{0}{3}}+0+C=C=5$

La función pedida es

$f(x)={\displaystyle \frac{x^4}{4}}-{\displaystyle \frac{4x^3}{3}}+2x^2+5$