Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{x^2+x-2}{x-2}}$, obtenga sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos que existan. [2,5 puntos]

El dominio de la función lo forman todos los reales salvo el que anula el denominador:

$x-2=0\Rightarrow x=2\Rightarrow \text{Dom }f=\mathbb{R}-\{2\}$

Se deriva por la regla del cociente.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{(2x+1)(x-2)-(x^2+x-2)}{(x-2{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2x^2-4x+x-2-x^2-x+2}{(x-2{)}^2}}={\displaystyle \frac{x^2-4x}{(x-2{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x(x-4)}{(x-2{)}^2}}$

Se anula la derivada para localizar los puntos críticos.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x(x-4)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=4\end{array}$

Como el denominador es un cuadrado, siempre positivo, el signo de $f^{\mathrm{\prime }}$ es el del numerador. Se estudia ese signo en los cuatro tramos que determinan los dos puntos críticos y el punto $x=2$, que no pertenece al dominio.

$f^{\mathrm{\prime }}(-1)={\displaystyle \frac{(-1)(-5)}{9}}>0$

$f^{\mathrm{\prime }}(1)={\displaystyle \frac{1\cdot (-3)}{1}}<0$

$f^{\mathrm{\prime }}(3)={\displaystyle \frac{3\cdot (-1)}{1}}<0$

$f^{\mathrm{\prime }}(5)={\displaystyle \frac{5\cdot 1}{9}}>0$



La función crece en $(-\mathrm{\infty },0)\cup (4,+\mathrm{\infty })$ y decrece en $(0,2)\cup (2,4)$.

En $x=0$ pasa de crecer a decrecer, luego hay un máximo relativo; en $x=4$ pasa de decrecer a crecer, luego hay un mínimo relativo. En $x=2$ no hay extremo, porque el punto no pertenece al dominio.

$f(0)={\displaystyle \frac{-2}{-2}}=1,f(4)={\displaystyle \frac{16+4-2}{2}}={\displaystyle \frac{18}{2}}=9$

Hay un máximo relativo en $(0,1)$ y un mínimo relativo en $(4,9)$.