Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{3x^2}{(x+4{)}^2}}$, obtenga: [2,5 puntos]

a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes OX y OY. [0,25 puntos]

b) Las asíntotas. [0,5 puntos]

c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos que existan. [0,75 puntos]

d) Los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión que existan. [0,75 puntos]

e) Finalmente, con los datos obtenidos en los apartados anteriores, dibuje su gráfica. [0,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Su}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes}}\mathbf{\text{OX}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{OY.}}\mathbf{\text{[0,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El dominio lo forman todos los números reales salvo el que anula el denominador.

$(x+4{)}^2=0\Rightarrow x=-4\Rightarrow \text{Dom }f=\mathbb{R}-\{-4\}$

Para el corte con OX se anula el numerador; para el de OY se hace $x=0$.

$3x^2=0\Rightarrow x=0,f(0)={\displaystyle \frac{0}{16}}=0$

Los dos cortes coinciden en el origen: la gráfica corta a los ejes únicamente en $(0,0)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Asíntota vertical: en $x=-4$ el numerador vale $48\mathrm{\ne }0$ y el denominador es un cuadrado, siempre positivo.

${\lim }_{x\to -4}{\displaystyle \frac{3x^2}{(x+4{)}^2}}={\displaystyle \frac{48}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }$

La recta $x=-4$ es asíntota vertical, y la curva se dispara a $+\mathrm{\infty }$ por los dos lados.

Asíntota horizontal: numerador y denominador tienen el mismo grado.

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{3x^2}{(x+4{)}^2}}={\displaystyle \frac{3}{1}}=3$

La recta $y=3$ es asíntota horizontal, y por existir esta no hay asíntota oblicua.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{extremos}}\mathbf{\text{relativos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{existan.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se deriva por la regla del cociente y se simplifica sacando factor común $(x+4)$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{6x(x+4{)}^2-3x^2\cdot 2(x+4)}{(x+4{)}^4}}={\displaystyle \frac{6x(x+4)-6x^2}{(x+4{)}^3}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{6x^2+24x-6x^2}{(x+4{)}^3}}={\displaystyle \frac{24x}{(x+4{)}^3}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 24x=0\Rightarrow x=0$

El signo de $f^{\mathrm{\prime }}$ depende de los signos del numerador y del cubo del denominador, que cambia en $x=-4$.

$f^{\mathrm{\prime }}(-5)={\displaystyle \frac{-120}{-1}}=120>0$

$f^{\mathrm{\prime }}(-1)={\displaystyle \frac{-24}{27}}<0$

$f^{\mathrm{\prime }}(1)={\displaystyle \frac{24}{125}}>0$



La función crece en $(-\mathrm{\infty },-4)\cup (0,+\mathrm{\infty })$ y decrece en $(-4,0)$.

En $x=0$ pasa de decrecer a crecer, luego hay un mínimo relativo en $(0,0)$. En $x=-4$ no hay extremo, porque el punto no pertenece al dominio.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{concavidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{convexidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{inflexi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{existan.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se deriva otra vez, sacando factor común $(x+4{)}^{-4}$.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{24(x+4{)}^3-24x\cdot 3(x+4{)}^2}{(x+4{)}^6}}={\displaystyle \frac{24(x+4)-72x}{(x+4{)}^4}}$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{96-48x}{(x+4{)}^4}}={\displaystyle \frac{48(2-x)}{(x+4{)}^4}}$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 2-x=0\Rightarrow x=2$

El denominador es una potencia par, siempre positiva, de modo que el signo de $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ es el de $2-x$.

$\text{Si }x<2:f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0\Rightarrow \text{convexa }(\cup )$

$\text{Si }x>2:f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0\Rightarrow \text{c}\acute{\text{o}}\text{ncava }(\cap )$

La función es convexa en $(-\mathrm{\infty },-4)\cup (-4,2)$ y cóncava en $(2,+\mathrm{\infty })$, con un punto de inflexión en

$f(2)={\displaystyle \frac{3\cdot 4}{36}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\Rightarrow (2,{\displaystyle \frac{1}{3}})$

$\mathbf{\text{e)}}\mathbf{\text{Finalmente,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{datos}}\mathbf{\text{obtenidos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{apartados}}\mathbf{\text{anteriores,}}\mathbf{\text{dibuje}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica.}}\mathbf{\text{[0,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Con toda la información anterior —dominio, corte en el origen, las dos asíntotas, el mínimo relativo y el punto de inflexión— ya se puede representar la curva.