Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2025

Justifique la existencia (o ausencia) de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas para la función $f(x)={\displaystyle \frac{x^2+2}{x-2}}$. En caso de que existan, indique sus respectivas ecuaciones. [5 puntos]

Es una función racional; su dominio lo forman todos los números reales salvo los que anulan el denominador.

$x-2=0\Rightarrow x=2\Rightarrow \mathrm{Dom}f(x)=\mathbb{R}-\{2\}$

Asíntotas verticales. Solo pueden estar en los puntos que no pertenecen al dominio, así que se calcula el límite en $x=2$.

${\lim }_{x\to 2}{\displaystyle \frac{x^2+2}{x-2}}={\displaystyle \frac{2^2+2}{0}}={\displaystyle \frac{6}{0}}=\mathrm{\infty }$

Se estudian los límites laterales para conocer el comportamiento a cada lado:

${\lim }_{x\to 2^{-}}{\displaystyle \frac{x^2+2}{x-2}}={\displaystyle \frac{6}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty },{\lim }_{x\to 2^{+}}{\displaystyle \frac{x^2+2}{x-2}}={\displaystyle \frac{6}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }$

La recta $x=2$ es asíntota vertical.

Asíntotas horizontales. Se calcula el límite de la función en el infinito. El grado del numerador es mayor que el del denominador.

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2+2}{x-2}}=\pm \mathrm{\infty }$

Como el límite no es un número real, la función no tiene asíntota horizontal.

Asíntotas oblicuas. Se buscan de la forma $y=mx+n$, y pueden existir porque el grado del numerador supera en exactamente una unidad al del denominador.

$m={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2+2}{x^2-2x}}=1$

$n={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}(f(x)-mx)={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}({\displaystyle \frac{x^2+2}{x-2}}-x)={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2+2-x^2+2x}{x-2}}$

$n={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2x+2}{x-2}}=2$

La recta $y=x+2$ es asíntota oblicua, tanto en $+\mathrm{\infty }$ como en $-\mathrm{\infty }$.

El mismo resultado se obtiene efectuando la división de los polinomios:

${\displaystyle \frac{x^2+2}{x-2}}=x+2+{\displaystyle \frac{6}{x-2}}$

pues el resto ${\displaystyle \frac{6}{x-2}}$ tiende a cero cuando $x$ tiende a infinito.



La función tiene una asíntota vertical de ecuación $x=2$ y una asíntota oblicua de ecuación $y=x+2$; no tiene asíntota horizontal, porque una función no puede tener a la vez asíntota horizontal y oblicua en la misma rama.