Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2025

La función

$B(x)=\{\begin{array}{ll}2x(32-4x)& \text{si }0\le x\le 3\\ -20x+180& \text{si }3<x\le 9\end{array}$

representa el beneficio mensual de una empresa, en miles de euros, en función del precio unitario (€), $x$, al que vende su producto.

a) Justifique si la función $B(x)$ es continua. [4 puntos]

b) Calcule el precio unitario al que la empresa debe vender el producto para obtener el máximo beneficio e indique a cuánto asciende dicho valor. [6 puntos]

La función está definida a trozos y cada trozo es una función polinómica, que es continua en todo $\mathbb{R}$. Por tanto $B(x)$ es continua en $[0,3)$ y en $(3,9]$, y el único punto que hay que estudiar es el empalme $x=3$.

Para que la función sea continua en $x=3$ deben existir y coincidir los dos límites laterales y el valor de la función en el punto.

Valor de la función en el punto (lo da la primera rama, que incluye $x=3$):

$B(3)=2\cdot 3(32-4\cdot 3)=6(32-12)=6\cdot 20=120$

Límite por la izquierda:

${\lim }_{x\to 3^{-}}B(x)={\lim }_{x\to 3^{-}}2x(32-4x)=2\cdot 3(32-12)=120$

Límite por la derecha:

${\lim }_{x\to 3^{+}}B(x)={\lim }_{x\to 3^{+}}(-20x+180)=-20\cdot 3+180=-60+180=120$

Como

${\lim }_{x\to 3^{-}}B(x)={\lim }_{x\to 3^{+}}B(x)=B(3)=120,$

la función es continua en $x=3$.

La función $B(x)$ es continua en todo su dominio $[0,9]$: el beneficio no da ningún salto al pasar el precio unitario por los 3 €.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{unitario}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{vender}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{producto}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{indique}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{asciende}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{valor.}}(6\text{ puntos})$

Se busca el máximo absoluto de una función continua en el intervalo cerrado $[0,9]$, así que se estudia la monotonía de cada rama por separado y después se comparan los candidatos.

En el primer tramo, $0\le x\le 3$, se desarrolla y se deriva:

$B(x)=2x(32-4x)=64x-8x^2\Rightarrow B^{\mathrm{\prime }}(x)=64-16x$

$B^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 64-16x=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{64}{16}}=4$

El punto crítico $x=4$ no pertenece al intervalo $[0,3]$, de modo que en ese tramo la derivada no se anula y conserva el signo:

$B^{\mathrm{\prime }}(0)=64>0$

La función es creciente en $[0,3]$.

En el segundo tramo, $3<x\le 9$, la función es una recta de pendiente negativa:

$B(x)=-20x+180\Rightarrow B^{\mathrm{\prime }}(x)=-20<0$

La función es decreciente en $(3,9]$.



La función crece hasta $x=3$ y decrece a partir de ahí, luego alcanza su máximo absoluto en $x=3$. Se comprueba comparando con los extremos del intervalo:

$B(0)=2\cdot 0(32-0)=0,B(3)=120,B(9)=-20\cdot 9+180=0$

El beneficio está medido en miles de euros, así que:

$B(3)=120\text{ miles de euros}=120000\text{ €}$

La empresa debe vender el producto a un precio unitario de $3\text{ €}$, con lo que obtiene un beneficio mensual máximo de $120000\text{ €}$.