Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}3& m\\ 6& 3\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 3& m\\ 0& 6& 3\end{array}\right)$. Se pide:

a) Determina los valores del parámetro $m$ para que $A$ tenga inversa. Para $m=2$, calcula $A^{-1}$. (3 puntos)

b) Discute y resuelve, según los valores del parámetro $m$, el sistema de ecuaciones $B\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$. (7 puntos)

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no se anula.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}3& m\\ 6& 3\end{array}\mid =3\cdot 3-m\cdot 6=9-6m$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow 9-6m=0\Rightarrow m={\displaystyle \frac{3}{2}}$

La matriz $A$ tiene inversa para todo $m\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{3}{2}}$.

Para $m=2$:

$A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 6& 3\end{array}\right),\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=9-12=-3\mathrm{\ne }0$

Se calcula la inversa por el método de los adjuntos.

$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{cc}3& -6\\ -2& 3\end{array}\right),(\mathrm{Adj}(A){)}^t=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -6& 3\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{-3}}\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -6& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& {\displaystyle \frac{2}{3}}\\ 2& -1\end{array}\right)$

Se comprueba el resultado:

$\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 6& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& {\displaystyle \frac{2}{3}}\\ 2& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

La matriz inversa es $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-1& {\displaystyle \frac{2}{3}}\\ 2& -1\end{array}\right)$.



El sistema escrito en forma de ecuaciones es

$\{\begin{array}{l}x-z=0\\ 3y+mz=1\\ 6y+3z=0\end{array}$

Se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes, desarrollando por la primera columna.

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 3& m\\ 0& 6& 3\end{array}\mid =1\cdot \mid \begin{array}{cc}3& m\\ 6& 3\end{array}\mid =9-6m$

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=0\Rightarrow m={\displaystyle \frac{3}{2}}$

Se distinguen dos casos.

Caso 1: $m\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{3}{2}}$.

El determinante no se anula, $\mathrm{rg}(B)=\mathrm{rg}(B\mathrm{\mid }C)=3$ y, por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado.

De la tercera ecuación, $6y+3z=0\Rightarrow z=-2y$. Se sustituye en la segunda:

$3y+m(-2y)=1\Rightarrow y(3-2m)=1\Rightarrow y={\displaystyle \frac{1}{3-2m}}$

$z=-2y={\displaystyle \frac{-2}{3-2m}}$

De la primera ecuación, $x=z$, luego

$x={\displaystyle \frac{-2}{3-2m}},y={\displaystyle \frac{1}{3-2m}},z={\displaystyle \frac{-2}{3-2m}}$

Caso 2: $m={\displaystyle \frac{3}{2}}$.

El sistema queda

$\{\begin{array}{l}x-z=0\\ 3y+{\displaystyle \frac{3}{2}}z=1\\ 6y+3z=0\end{array}$

La tercera ecuación es exactamente el doble del primer miembro de la segunda, pero los términos independientes no guardan esa proporción: $2\cdot 1=2\mathrm{\ne }0$. Multiplicando la segunda por $2$ se obtiene $6y+3z=2$, que es incompatible con $6y+3z=0$.

Por tanto $\mathrm{rg}(B)=2$ y $\mathrm{rg}(B\mathrm{\mid }C)=3$: el sistema es incompatible.

Resumiendo: para $m\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{3}{2}}$ el sistema es compatible determinado, con solución $x=z={\displaystyle \frac{-2}{3-2m}}$ e $y={\displaystyle \frac{1}{3-2m}}$; para $m={\displaystyle \frac{3}{2}}$ el sistema es incompatible.