Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Sea $f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{2-x}}& \text{si }x<2\\ 1& \text{si }x=2\\ x-\sqrt{x^2-2x}& \text{si }x>2\end{array}$

a) Estudie la continuidad de $f(x)$. (3 puntos)

b) Calcule ${\displaystyle {\int }_0^{1}f(x)dx}$. (3 puntos)

c) Calcule ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)}$. (4 puntos)

Se estudia primero cada trozo por separado y después el punto donde cambia la definición.

En $x<2$ la función es ${\displaystyle \frac{1}{2-x}}$, un cociente de polinomios que solo deja de ser continua donde se anula el denominador, en $x=2$, que no pertenece a ese tramo. Es continua en $(-\mathrm{\infty },2)$.

En $x>2$ la función es $x-\sqrt{x^2-2x}$. El radicando $x^2-2x=x(x-2)$ es positivo para todo $x>2$, así que la raíz está bien definida y la función es continua en $(2,+\mathrm{\infty })$.

Se estudia ahora la continuidad en $x=2$. Para que sea continua deben coincidir los dos límites laterales y el valor de la función.

$f(2)=1$

${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 2^{-}}{\displaystyle \frac{1}{2-x}}={\displaystyle \frac{1}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }$

El límite por la izquierda no es finito, de modo que la función no es continua en $x=2$: presenta una discontinuidad de salto infinito, y la recta $x=2$ es una asíntota vertical de la rama izquierda.

La función $f(x)$ es continua en $\mathbb{R}-\{2\}$ y discontinua en $x=2$.



Todo el intervalo de integración $[0,1]$ está contenido en el tramo $x<2$, así que se integra la primera expresión.

${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^1{\displaystyle \frac{1}{2-x}}dx$

Es una integral de tipo logarítmico. Se ajusta la derivada del denominador, que es $-1$:

$\int {\displaystyle \frac{1}{2-x}}dx=-\int {\displaystyle \frac{-1}{2-x}}dx=-\ln \mathrm{\mid }2-x\mathrm{\mid }$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

${\int }_0^1{\displaystyle \frac{1}{2-x}}dx=[-\ln \mathrm{\mid }2-x\mathrm{\mid }{]}_0^1=-\ln \mathrm{\mid }2-1\mathrm{\mid }+\ln \mathrm{\mid }2-0\mathrm{\mid }$

$=-\ln 1+\ln 2=\ln 2\approx \mathrm{0,6931}$

El valor de la integral definida es $\ln 2\approx \mathrm{0,6931}$.



Cuando $x\to +\mathrm{\infty }$ hay que usar la tercera rama de la función.

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}(x-\sqrt{x^2-2x})=\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$

Se trata de una indeterminación del tipo $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ con una raíz. Se multiplica y se divide por la expresión conjugada.

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(x-\sqrt{x^2-2x})(x+\sqrt{x^2-2x})}{x+\sqrt{x^2-2x}}}={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2-(x^2-2x)}{x+\sqrt{x^2-2x}}}$

$={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2x}{x+\sqrt{x^2-2x}}}$

Ahora es un cociente en el que numerador y denominador crecen como $x$: se dividen ambos por $x$, teniendo en cuenta que para $x>0$ es $x=\sqrt{x^2}$.

$={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2}{1+\sqrt{{\displaystyle \frac{x^2-2x}{x^2}}}}}={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2}{1+\sqrt{1-{\displaystyle \frac{2}{x}}}}}={\displaystyle \frac{2}{1+\sqrt{1}}}={\displaystyle \frac{2}{2}}$

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)=1$

El límite de la función cuando $x$ tiende a más infinito es $1$, es decir, la recta $y=1$ es asíntota horizontal de la rama derecha.