Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

En una piscina natural, el aumento de temperatura (en grados centígrados), $x$, ocasiona un aumento en la cantidad de algas en superficie (en kg), $F(x)$. La relación entre ambas cantidades viene dada por la función

$F(x)=\{\begin{array}{ll}2Bx+2A& \text{si }0\le x\le 3\\ x^2-3Ax+8B& \text{si }x>3\end{array}$

Se sabe que para un aumento de 4 grados centígrados, se han recogido 12 kg de algas y que la función es continua.

Determine las constantes $A$ y $B$. Justifique la respuesta. [2 puntos]

En cada uno de los dos tramos la función es polinómica y, por tanto, continua. La continuidad solo puede fallar en $x=3$, que es donde cambia la expresión, así que se impone allí la igualdad de los límites laterales; la segunda condición la dan los kilogramos recogidos con un aumento de 4 grados.

${\lim }_{x\to 3^{-}}F(x)={\lim }_{x\to 3^{-}}(2Bx+2A)=6B+2A=F(3)$

${\lim }_{x\to 3^{+}}F(x)={\lim }_{x\to 3^{+}}(x^2-3Ax+8B)=9-9A+8B$

Para que $F(x)$ sea continua en $x=3$ los dos límites laterales deben coincidir.

$6B+2A=9-9A+8B\Rightarrow 11A-2B=9$

El valor $x=4$ pertenece al segundo tramo, porque $4>3$, y allí se recogen 12 kg de algas.

$F(4)=16-12A+8B=12\Rightarrow -12A+8B=-4\Rightarrow 3A-2B=1$

Reunimos las dos condiciones en un sistema:

$\{\begin{array}{l}11A-2B=9\\ 3A-2B=1\end{array}$

Restando la segunda ecuación de la primera se elimina $B$:

$8A=8\Rightarrow A=1\Rightarrow 2B=3A-1=2\Rightarrow B=1$

Se comprueban las dos condiciones con estos valores. En $x=3$: $6+2=8$ y $9-9+8=8$. En $x=4$: $16-12+8=12$ kg.

Las constantes buscadas son $A=1$ y $B=1$.