Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Restringidos al dominio $x\in [0,20]$, considere las tres funciones siguientes:

$f(x)=x(10-x),g(x)=125-20x,h(x)=\{\begin{array}{ll}f(x)& \text{si }0\le x\le 15,\\ g(x)& \text{si }15<x\le 20.\end{array}$

a) ¿Para qué valores de $x$ se tiene que $f(x)=g(x)$? ¿Para qué valores de $x$ se tiene que $f^{\mathrm{\prime }}(x)=g^{\mathrm{\prime }}(x)$? [1 punto]

b) Estudie la continuidad de la función $h(x)$. [1 punto]

c) ¿Es la función $h(x)$ derivable? ¿En qué intervalos es creciente? [1 punto]

Para la primera pregunta igualamos las dos funciones y resolvemos la ecuación que resulta.

$f(x)=g(x)\Rightarrow x(10-x)=125-20x$

$10x-x^2=125-20x\Rightarrow -x^2+30x-125=0\Rightarrow x^2-30x+125=0$

$x={\displaystyle \frac{30\pm \sqrt{{30}^2-4\cdot 125}}{2}}={\displaystyle \frac{30\pm \sqrt{900-500}}{2}}={\displaystyle \frac{30\pm 20}{2}}$

$\{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{30-20}{2}}=5\\ x={\displaystyle \frac{30+20}{2}}=25\end{array}$

Se descarta $x=25$ por no pertenecer al dominio $[0,20]$ al que el enunciado restringe las funciones.

$f(5)=5\cdot (10-5)=25,g(5)=125-20\cdot 5=25$

Las dos funciones coinciden únicamente en $x=5$, donde ambas valen 25.

Para la segunda pregunta derivamos cada función y volvemos a igualar.

$f(x)=10x-x^2\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=10-2x$

$g(x)=125-20x\Rightarrow g^{\mathrm{\prime }}(x)=-20$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=g^{\mathrm{\prime }}(x)\Rightarrow 10-2x=-20\Rightarrow -2x=-30\Rightarrow x=15$

Las derivadas coinciden únicamente en $x=15$, que sí pertenece al dominio. Es un dato que conviene retener, porque $x=15$ es justamente el punto en el que la función $h(x)$ cambia de trozo.



La función $h(x)$ está definida a trozos. En cada trozo por separado no hay ningún problema: $f(x)$ es un polinomio de segundo grado y $g(x)$ es un polinomio de primer grado, y los polinomios son continuos en todo $\mathbb{R}$. El único punto dudoso es el empalme, $x=15$.

Para que $h$ sea continua en $x=15$ los dos límites laterales y el valor de la función deben coincidir.

${\lim }_{x\to {15}^{-}}h(x)={\lim }_{x\to {15}^{-}}f(x)=f(15)=15\cdot (10-15)=15\cdot (-5)=-75$

${\lim }_{x\to {15}^{+}}h(x)={\lim }_{x\to {15}^{+}}g(x)=g(15)=125-20\cdot 15=125-300=-175$

${\lim }_{x\to {15}^{-}}h(x)=-75\mathrm{\ne }-175={\lim }_{x\to {15}^{+}}h(x)$

Los límites laterales existen pero son distintos, luego no existe el límite en $x=15$ y la función no es continua ahí. Se trata de una discontinuidad de salto finito, y el salto mide

$\mathrm{\mid }-175-(-75)\mathrm{\mid }=100$

La función $h(x)$ es continua en $[0,15)\cup (15,20]$ y presenta en $x=15$ una discontinuidad de salto finito, de amplitud 100. En ese punto la función toma el valor $h(15)=f(15)=-75$, porque el primer trozo incluye el extremo.





Una función que no es continua en un punto tampoco puede ser derivable en él, así que la respuesta a la primera pregunta ya está decidida por el apartado anterior.

$h(x)\text{ no es continua en }x=15\Rightarrow h(x)\text{ no es derivable en }x=15$

En el resto del dominio $h$ coincide con un polinomio, luego sí es derivable, y su derivada es

$h^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}10-2x,& 0\le x<15\\ -20,& 15<x\le 20\end{array}$

Es curioso que en el apartado a) hayamos obtenido $f^{\mathrm{\prime }}(15)=g^{\mathrm{\prime }}(15)=-20$: las dos ramas llegan al empalme con la misma pendiente, pero eso no salva la derivabilidad, porque la función da un salto y la derivabilidad exige antes la continuidad.

Para la monotonía estudiamos el signo de la derivada. En el segundo trozo la derivada es la constante $-20<0$, y en el primero se anula en un punto.

$h^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 10-2x=0\Rightarrow x=5$

$\text{Si }x=0,h^{\mathrm{\prime }}(0)=10>0$

$\text{Si }x=10,h^{\mathrm{\prime }}(10)=10-20=-10<0$



La función $h(x)$ es derivable en todo su dominio salvo en $x=15$. Es creciente únicamente en el intervalo $[0,5)$, y decreciente en $(5,15]$ y en $(15,20]$.