Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Ejercicio 2 (2,5 puntos). Responda únicamente a una de las dos preguntas, o bien 2.1 o 2.2.

Pregunta 2.1. Se considera la función real de variable real definida por la siguiente expresión:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x^2+1}{x-1}}& \text{si }x\le 0\\ {\displaystyle \frac{x+a}{x+1}}& \text{si }x>0\end{array},a\in \mathbb{R}$

2.1.a) (1 punto) Determine el valor del parámetro real $a$ para que la función sea continua en $x=0$.

2.1.b) (1,5 puntos) Calcule las asíntotas de $f(x)$.

En $x=0$ cambia la definición de la función, así que imponemos que el valor y los dos límites laterales coincidan.

$f(0)={\displaystyle \frac{0^2+1}{0-1}}=-1$

${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\displaystyle \frac{0^2+1}{0-1}}=-1$

${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\displaystyle \frac{0+a}{0+1}}=a$

$a=-1$

La función es continua en $x=0$ únicamente para $a=-1$.



Empezamos por las verticales, que solo pueden aparecer donde se anula un denominador dentro del trozo en el que ese denominador actúa.

$x-1=0\Rightarrow x=1\mathrm{\notin }(-\mathrm{\infty },0],x+1=0\Rightarrow x=-1\mathrm{\notin }(0,+\mathrm{\infty })$

Ninguno de los dos valores cae en su propio trozo, y el dominio es todo $\mathbb{R}$, así que la función no tiene asíntotas verticales.

Estudiamos el comportamiento en $+\mathrm{\infty }$, donde manda el segundo trozo con $a=-1$.

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x-1}{x+1}}={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1-{\displaystyle \frac{1}{x}}}{1+{\displaystyle \frac{1}{x}}}}=1$

La recta $y=1$ es asíntota horizontal cuando $x\to +\mathrm{\infty }$.

En $-\mathrm{\infty }$ manda el primer trozo, cuyo numerador supera en un grado al denominador: no hay asíntota horizontal pero sí oblicua, $y=mx+n$.

$m={\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2+1}{x(x-1)}}={\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2+1}{x^2-x}}=1$

$n={\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}({\displaystyle \frac{x^2+1}{x-1}}-x)={\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x+1}{x-1}}=1$

La recta $y=x+1$ es asíntota oblicua cuando $x\to -\mathrm{\infty }$.

La función no tiene asíntotas verticales; tiene la asíntota horizontal $y=1$ por la derecha y la oblicua $y=x+1$ por la izquierda.