Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Cuestión 4. (2,5 puntos) Dada la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}ax+5& \text{si }x\le -1\\ 2x^2-2x+1& \text{si }-1<x\le 2\\ {\displaystyle \frac{3x-1}{(x-1{)}^2}}& \text{si }x>2\end{array}$
a) Calcular el valor de los parámetros $a$ y $b$ para que la función sea continua en todo su dominio. (1,5 puntos)
b) Determine la derivada $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ para $x>2$. (1 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metros}}\mathit{a}\mathbf{\text{y}}\mathit{b}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{dominio.}}(\mathrm{1,5}\text{ puntos})$

El coeficiente de $x^2$ del segundo trozo es el parámetro $b$, así que el trozo central es $b{x}^2-2x+1$. Cada trozo es continuo en su intervalo, de modo que solo hay que imponer la continuidad en los dos empalmes.

${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)=-a+5;{\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)=b+2+1=b+3$

$-a+5=b+3\Rightarrow a+b=2$

${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=4b-4+1=4b-3;{\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)={\displaystyle \frac{6-1}{(2-1{)}^2}}=5$

$4b-3=5\Rightarrow b=2$

$a=2-b=0$

La función es continua en todo su dominio para $a=0$ y $b=2$, que es el coeficiente que aparece en el enunciado.



Para $x>2$ la función es un cociente, que se deriva con la regla correspondiente.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{3(x-1{)}^2-(3x-1)\cdot 2(x-1)}{(x-1{)}^4}}$

Se saca factor común $(x-1)$ en el numerador y se simplifica con el denominador.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{3(x-1)-2(3x-1)}{(x-1{)}^3}}={\displaystyle \frac{3x-3-6x+2}{(x-1{)}^3}}$

Para $x>2$ la derivada es $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-3x-1}{(x-1{)}^3}}$, negativa en todo el tramo, de modo que ahí la función decrece.