Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Apartado 1. Responde un problema de este apartado de los dos propuestos.

Problema 1. B. Una granja desea crear una mezcla fertilizante líquida utilizando dos compuestos comerciales, NutriMax y BioGrow. Cada litro de estos compuestos aporta diferentes cantidades de unidades de nitrógeno, fósforo y potasio. Para que el cultivo sea productivo, los agrónomos han determinado que se deben aplicar al terreno como mínimo 8 unidades de nitrógeno, 6 unidades de fósforo y 10 unidades de potasio. Se sabe que un litro de NutriMax contiene 2 unidades de nitrógeno, 1 unidad de fósforo y 1 unidad de potasio, mientras que un litro de BioGrow contiene 1 unidad de nitrógeno, 1 unidad de fósforo y 2 unidades de potasio. El coste de un litro de NutriMax es de 5 euros y el de BioGrow es de 4 euros.

a) ¿Cuántos litros de cada producto han de utilizarse para que el coste de la mezcla sea mínimo? (3 puntos)
b) ¿Cuál es dicho coste mínimo? (0,5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{litros}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{producto}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{utilizarse}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mezcla}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo?}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Definimos las incógnitas:

$x=$ litros de NutriMax

$y=$ litros de BioGrow

La función que queremos minimizar es el coste total:

$C=5x+4y$

Como se necesitan al menos 8 unidades de nitrógeno:

$2x+y\ge 8$

Como se necesitan al menos 6 unidades de fósforo:

$x+y\ge 6$

Como se necesitan al menos 10 unidades de potasio:

$x+2y\ge 10$

Además:

$x\ge 0,y\ge 0$

Por tanto, el problema de programación lineal es:

$\{\begin{array}{l}\text{Minimizar }C=5x+4y\\ 2x+y\ge 8\\ x+y\ge 6\\ x+2y\ge 10\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$

Buscamos los vértices de la región factible. Resolvemos las rectas:

$2x+y=8$

$x+y=6$

Restando:

$x=2$

Sustituyendo:

$2+y=6\Rightarrow y=4$

Por tanto, obtenemos el punto:

$(x,y)=(2,4)$

Comprobamos la tercera restricción:

$x+2y=2+2\cdot 4=10$

Luego también cumple exactamente la condición del potasio.

Así, el punto de corte de las tres restricciones es:

$(2,4)$

Como la región factible está por encima de las rectas y queremos minimizar el coste, el mínimo se alcanza en este vértice.

Por tanto, deben utilizarse:

$x=2$ litros de NutriMax

$y=4$ litros de BioGrow

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo?}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Sustituimos en la función de coste:

$C=5x+4y$

$C=5\cdot 2+4\cdot 4$

$C=10+16=26\text{ euros}$

Por tanto, el coste mínimo es:

$C_{\min }=26\text{ euros}$