Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{1.}}\mathbf{\text{A.}}$

Una agencia de viajes organiza excursiones a la montaña y a la playa. La agencia obtiene $700$ euros de beneficio por cada excursión a la montaña y $500$ euros por cada excursión a la playa. La agencia dispone de un total de $10$ autobuses y $8$ guías turísticos para las excursiones. Cada excursión a la montaña requiere $2$ autobuses y $2$ guías, mientras que cada excursión a la playa requiere $2$ autobuses y $1$ guía.

a) ¿Cuántas excursiones a la montaña y cuántas a la playa tiene que organizar la agencia para obtener el máximo beneficio posible? $(3\text{ puntos})$
b) ¿Cuál es dicho beneficio máximo? $(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{excursiones}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{monta}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{playa}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{organizar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{agencia}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{posible?}}(3\text{ puntos})$

Sea $x$ el número de excursiones a la montaña y $y$ el número de excursiones a la playa.

$$	$Autobuses$	$Gu\acute{\mathrm{ı}}as$	$Beneficio$
Montaña = x	2x	2x	700x (€)
Playa = y	2y	y	500y (€)

Por tanto, el problema de programación lineal queda:

Maximizar:

$z=700x+500y$

sujeto a:

$\{\begin{array}{l}2x+2y\le 10\\ 2x+y\le 8\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$










Para representar la región factible usamos las rectas límite:

$2x+2y=10\Rightarrow \begin{array}{cc}x& y\\ 0& 5\\ 5& 0\end{array}$

$2x+y=8\Rightarrow \begin{array}{cc}x& y\\ 0& 8\\ 4& 0\end{array}$

Como el punto $(0,0)$ cumple ambas inecuaciones, la región factible queda en el primer cuadrante por debajo de las dos rectas.





Los vértices de la región factible son:

$A=(0,0),B=(0,5),D=(4,0)$

El vértice de corte entre las dos rectas se obtiene resolviendo:

$\{\begin{array}{l}2x+2y=10\\ 2x+y=8\end{array}$

Restando la segunda ecuación a la primera:

$y=2$

Sustituyendo en $2x+y=8$:

$2x+2=8\Rightarrow 2x=6\Rightarrow x=3$

Por tanto:

$C=(3,2)$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo?}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Calculamos el beneficio en cada vértice:

$x$	$y$	$z=700x+500y$
0	0	700·0+500·0=0
0	5	700·0+500·5=2500
3	2	700·3+500·2=3100
4	0	700·4+500·0=2800

El beneficio máximo se obtiene en $C=(3,2)$.

Por tanto, la agencia debe organizar $3$ excursiones a la montaña y $2$ excursiones a la playa.

El beneficio máximo será: $\boxed{{\displaystyle 3100\text{ €}}}$