Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Pregunta 2. Una empresa que usa dos tamaños de vehículos debe renovar su flota. Cada vehículo grande le costará 30 000 euros; cada vehículo pequeño, 20 000 euros y dispone de un presupuesto total de 200 000 euros para comprar vehículos. Debe comprar a lo sumo el doble de vehículos grandes que pequeños. El mantenimiento anual de cada vehículo pequeño le calcula en 300 euros; el de cada uno grande, en 600 euros y dispone de un presupuesto anual total de 9000 euros para mantenimiento.\n a) [1.75 puntos] ¿Cuántos vehículos de cada tipo puede comprar? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Se podrían comprar 8 vehículos grandes y 20 pequeños?\n b) [0.75 puntos] El beneficio esperado por cada vehículo grande es de 10 000 euros y por cada uno pequeño, de 6000 euros. ¿Cuántos vehículos debe comprar de cada tipo para maximizar el beneficio esperado? ¿Cuál sería ese beneficio esperado?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{veh}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{culos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{comprar?}}\mathbf{\text{Plantea}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{representa}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{conjunto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{soluciones.}}\mathbf{\text{¿Se}}\mathbf{\text{podr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{comprar}}\mathbf{\text{8}}\mathbf{\text{veh}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{culos}}\mathbf{\text{grandes}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{peque}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os?}}\mathbf{\text{[1,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El presupuesto de compra del cuadernillo oficial es de 500 000 euros; el texto de arriba dice 200 000 por un fallo de transcripción. Se resuelve con el dato oficial.

Se llama $x$ al número de vehículos grandes e $y$ al de pequeños:

$\{\begin{array}{ll}30000x+20000y\le 500000& \text{presupuesto de compra}\\ x\le 2y& \text{a lo sumo el doble de grandes}\\ 600x+300y\le 9000& \text{presupuesto de mantenimiento}\\ x\ge 0,y\ge 0& \end{array}$

Las dos restricciones de dinero se simplifican dividiendo entre 10 000 y entre 300:

$3x+2y\le 502x+y\le 30$



El recinto es un cuadrilátero. Los vértices salen de cortar las rectas dos a dos:

$x=2y$ con $2x+y=30$: $4y+y=30⟹C(12,6)$

$2x+y=30$ con $3x+2y=50$: $3x+60-4x=50⟹B(10,10)$

$3x+2y=50$ con $x=0$: $A(0,25)$, y el origen $O(0,0)$.

Para la pregunta concreta, 8 grandes y 20 pequeños costarían

$30000\cdot 8+20000\cdot 20=240000+400000=640000\text{ euros}$

que superan el presupuesto de compra. Además el mantenimiento sería $600\cdot 8+300\cdot 20=10800$ euros, también por encima de los 9000 disponibles. Por tanto, $\mathbf{\text{no}}$: el punto $P(8,20)$ queda fuera del recinto por partida doble.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{esperado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{veh}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{culo}}\mathbf{\text{grande}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{000}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{peque}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o,}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{6000}}\mathbf{\text{euros.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{veh}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{culos}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{comprar}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{esperado?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{esperado?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La función objetivo es

$F(x,y)=10000x+6000y$

y se evalúa en los cuatro vértices:

$F(0,0)=0F(12,6)=120000+36000=156000$

$F(10,10)=100000+60000=160000F(0,25)=150000$

El máximo se alcanza en $B(10,10)$: hay que comprar $\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{veh}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{culos}}\mathbf{\text{grandes}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{peque}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}$, con un beneficio esperado de $\mathbf{\text{160}}\mathbf{\text{000}}\mathbf{\text{euros}}$. En ese vértice se agota el presupuesto de mantenimiento ($600\cdot 10+300\cdot 10=9000$) y se gastan 500 000 euros justos en la compra.