Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{1.}}\mathbf{\text{A.}}$

Una empresa fabrica lotes de tres productos: $P1$, $P2$ y $P3$. La empresa tiene dos plantas de fabricación: $A$ y $B$. En un día de funcionamiento, la planta $A$ fabrica $1$ lote del producto $P1$, $2$ lotes del $P2$ y $1$ lote del $P3$, mientras que la planta $B$ fabrica $1$ lote del producto $P1$, $1$ del $P2$ y $5$ del $P3$. Cada día de funcionamiento de la planta $A$ cuesta $60$ miles de euros y cada día de funcionamiento de la planta $B$ cuesta $75$ miles de euros. En los próximos días la empresa tiene que producir al menos $6$ lotes del producto $P1$, al menos $8$ lotes del producto $P2$ y al menos $10$ lotes del producto $P3$.

a) ¿Cuántos días ha de funcionar cada planta para que el coste de producción sea mínimo? $(3\text{ puntos})$
b) ¿Cuál es dicho coste mínimo? $(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{funcionar}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{planta}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo?}}(3\text{ puntos})$

$D\acute{\mathrm{ı}}as$	$P1(lotes)$	$P2(lotes)$	$P3(lotes)$	$Costediario(mileseuros)$
Planta A → x	1x	2x	1x	60x
Planta B → y	1y	1y	5y	75y
TOTAL → x+y	x+y	2x+y	x+5y	60x+75y
Restricción	>6	>8	>10	MÍNIMO

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo?}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Tenemos que obtener el mínimo de $f(x,y)=60x+75y$ sujeto a las restricciones dadas por:

$\{\begin{array}{l}x+y\ge 6\Rightarrow y\ge 6-x\\ 2x+y\ge 8\Rightarrow y\ge 8-2x\\ x+5y\ge 10\Rightarrow y\ge {\displaystyle \frac{10-x}{5}}\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$

$x$	$y=6-x$
0	6
6	0

$x$	$y=8-2x$
0	8
4	0

$x$	$y=\frac{10-x}{5}$
0	2
10	0

Tenemos ya los vértices $A(0,8)$ y $D(10,0)$ de la región factible y determinamos el resto:

$B\{\begin{array}{l}y=8-2x\\ y=6-x\end{array}\Rightarrow 8-2x=6-x\Rightarrow x=2\Rightarrow y=4\Rightarrow B(2,4)$

$C\{\begin{array}{l}y=6-x\\ y={\displaystyle \frac{10-x}{5}}\end{array}\Rightarrow 6-x={\displaystyle \frac{10-x}{5}}\Rightarrow 30-5x=10-x\Rightarrow x=5\Rightarrow y=1\Rightarrow C(5,1)$

Por tanto:

$f(x,y)=60x+75y$

$f(0,8)=75\cdot 8=600$ miles de euros.

$f(2,4)=60\cdot 2+75\cdot 4=420$ miles de euros.

$f(5,1)=60\cdot 5+75\cdot 1=375$ miles de euros.

$f(10,0)=60\cdot 10=600$ miles de euros.

La planta $A$ debe funcionar $5$ días y la planta $B$ $1$ día para conseguir el coste mínimo de $375$ miles de euros, es decir, $375000$ euros.