Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

2. Una empresa monta dos tipos de palés. Cada palé tipo $A$ requiere 3 horas de preparación en el taller $T1$ y 4 horas de preparación en el taller $T2$. Cada palé tipo $B$ requiere 1 hora de preparación en el taller $T1$ y 3 horas de preparación en el taller $T2$. Cada semana, se disp$B$ne de un total de 30 horas de uso del taller $T1$ y de 60 horas de uso del taller $T2$. Cada palé tipo $A$ contiene 1 caja y cada palé tipo B contiene 2 cajas, existiendo un compromiso comercial de entregar al menos 4 cajas semanales.
a) [1,75 puntos] ¿Cuántos palés de cada tipo puede preparar en una semana para cumplir con todos los requisitos anteriores? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podría preparar 4 palés de cada tipo en una semana?
b) [0,75 puntos] Si se obtiene un beneficio neto de 2000 euros con la venta de cada palé tipo $A$ y de 1000 euros con cada palé tipo $B$, ¿Cuántos debería preparar de cada tipo para maximizar el beneficio neto? ¿a cuánto ascendería dicho beneficio?.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{pal}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{preparar}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{semana}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{cumplir}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{todos}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{requisitos}}\mathbf{\text{anteriores?}}\mathbf{\text{Plantea}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{representa}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{conjunto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{soluciones.}}\mathbf{\text{¿Podr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{preparar}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{pal}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{semana?}}\mathbf{\text{[1,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se llama $x$ al número de palés de tipo A e $y$ al de tipo B. Cada taller aporta una restricción de horas y el compromiso comercial, una de cajas:

$\{\begin{array}{ll}3x+y\le 30& \text{horas del taller }T1\\ 4x+3y\le 60& \text{horas del taller }T2\\ x+2y\ge 4& \text{al menos 4 cajas}\\ x\ge 0,y\ge 0& \end{array}$



El recinto es el pentágono cuyos vértices se obtienen cortando las rectas dos a dos. El más laborioso es el corte de las dos rectas de horas:

$\{\begin{array}{l}3x+y=30\\ 4x+3y=60\end{array}⟹y=30-3x⟹4x+90-9x=60⟹x=6,y=12$

Los cinco vértices son

$A(4,0)B(10,0)C(6,12)D(0,20)E(0,2)$

Para el caso que se pregunta, $x=4$ e $y=4$: $3\cdot 4+4=16\le 30$, $4\cdot 4+3\cdot 4=28\le 60$ y $4+2\cdot 4=12\ge 4$. Se cumplen las tres, así que $\mathbf{\text{s}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}$ podría preparar 4 palés de cada tipo; el punto queda dentro del recinto y, de hecho, le sobran horas en los dos talleres.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{obtiene}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{neto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{2000}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{venta}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{pal}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1000}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{pal}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{B,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{preparar}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{neto?}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{ascender}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{beneficio?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La función objetivo es

$F(x,y)=2000x+1000y$

y se evalúa en los cinco vértices:

$F(4,0)=8000F(10,0)=20000F(6,12)=12000+12000=24000$

$F(0,20)=20000F(0,2)=2000$

El máximo se alcanza en $C(6,12)$: hay que preparar $\mathbf{\text{6}}\mathbf{\text{pal}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{12}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{B}}$, con un beneficio de $\mathbf{\text{24}}\mathbf{\text{000}}\mathbf{\text{euros}}$ a la semana. En ese vértice se agotan las horas de los dos talleres a la vez ($3\cdot 6+12=30$ y $4\cdot 6+3\cdot 12=60$), que es lo que cabía esperar del óptimo.