Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

2.. Las cantidades mínimas diarias recomendadas que debe ingerir una determinada mascota son: 6 unidades de hidratos de carbono, 18 unidades de proteínas y 4 unidades de grasas. Una empresa dedicada al cuidado de este tipo de mascotas plantea diseñar una dieta para las mismas basada en el consumo de latas de dos marcas distintas M1 y M2. Se sabe que cada lata de la marca M1 contiene 3 unidades de hidratos de carbono, 3 unidades de proteínas y 1 unidad de grasas y que cada lata de la marca M2 contiene 1 unidad de hidratos de carbono, 9 unidades de proteínas y 1 unidad de grasas. Además se sabe que el precio de cada lata de la marca M1 es de 22 euros y que el precio de cada lata de la marca M2 es de 24 euros.
a) [1,75 puntos] ¿Cuántas latas de cada tipo se puede dar en un día a la mascota para cumplir todos los requisitos anteriores relativos a su dieta? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Se le podría dar una lata de la marca M1 y dos latas de la marca M2?
b) [0,75 puntos] ¿Cuántas latas de cada tipo se debería dar en un día a la mascota para que el precio de su alimentación sea mínimo? ¿Y para minimizar el número de latas de tipo M1 que come ese día?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{latas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{dar}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mascota}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{cumplir}}\mathbf{\text{todos}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{requisitos}}\mathbf{\text{anteriores}}\mathbf{\text{relativos}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{dieta?}}\mathbf{\text{Plantea}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{representa}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{conjunto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{soluciones.}}\mathbf{\text{¿Se}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{podr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{dar}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{lata}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{marca}}\mathbf{\text{M1}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{latas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{marca}}\mathbf{\text{M2?}}\mathbf{\text{[1,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se llama $x$ al número de latas de la marca M1 e $y$ al de la marca M2. Cada nutriente da una restricción, y todas son de mínimo:

$\{\begin{array}{ll}3x+y\ge 6& \text{hidratos de carbono}\\ 3x+9y\ge 18& \text{prote}\acute{\text{ı}}\text{nas}\\ x+y\ge 4& \text{grasas}\\ x\ge 0,y\ge 0& \end{array}$

La de las proteínas se simplifica dividiendo entre 3: $x+3y\ge 6$.



La región es no acotada (siempre se puede dar más comida) y sus vértices se obtienen cortando las rectas dos a dos:

$\{\begin{array}{l}3x+y=6\\ x+y=4\end{array}⟹2x=2⟹B(1,3)$

$\{\begin{array}{l}x+y=4\\ x+3y=6\end{array}⟹2y=2⟹C(3,1)$

junto con los cortes con los ejes $A(0,6)$ y $D(6,0)$, que son los que dejan cubiertos todos los nutrientes.

Para la pregunta concreta, $x=1$ e $y=2$: las proteínas salen ($1+3\cdot 2=7\ge 6$) y las grasas justo no ($1+2=3<4$), pero es que los hidratos de carbono tampoco: $3\cdot 1+2=5<6$. Por tanto, $\mathbf{\text{no}}$: con una lata de M1 y dos de M2 la mascota se queda corta; el punto $P(1,2)$ cae fuera del recinto.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{latas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{dar}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mascota}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{alimentaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo?}}\mathbf{\text{¿Y}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{minimizar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{latas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{M1}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{come}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La función de coste es

$F(x,y)=22x+24y$

y, aunque la región no está acotada, el mínimo sí existe (los coeficientes son positivos) y se alcanza en un vértice:

$F(0,6)=144F(1,3)=22+72=94F(3,1)=66+24=90F(6,0)=132$

El mínimo es $\mathbf{\text{90}}\mathbf{\text{euros}}$, con $\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{latas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{M1}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{lata}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{M2}}$.

La segunda pregunta cambia la función objetivo: ahora hay que minimizar simplemente $x$, el número de latas de M1. Como $x\ge 0$ y el punto de la región con menor abscisa es $A(0,6)$, la respuesta es $\mathbf{\text{0}}\mathbf{\text{latas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{M1}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{6}}\mathbf{\text{latas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{M2}}$. Sale más caro (144 euros), pero cumple la dieta.