Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

B 5. (Calificación máxima: 2 puntos)

El tiempo necesario para cumplimentar un test psicotécnico se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ minutos y desviación típica $\sigma =3$ minutos.

a) Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra aleatoria simple para que el error máximo cometido en la estimación de $\mu$ sea menor de 1 minuto con un nivel de confianza del 95 %.
b) Suponga que $\mu =32$ minutos. Calcule la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de tamaño $n=16$ pruebas, el tiempo medio empleado en su realización, $\bar{X}$, sea menor que 30,5 minutos.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{aleatoria}}\mathbf{\text{simple}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{cometido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathit{\mu }\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{minuto}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{95}}\mathbf{\text{\%.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Buscamos el valor crítico y despejamos el tamaño de la muestra de la fórmula del error.

$1-\alpha =\mathrm{0,95}\Rightarrow \mathrm{\Phi }(z_{\alpha \mathrm{/}2})=\mathrm{0,975}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\Rightarrow \mathrm{1,96}\cdot {\displaystyle \frac{3}{\sqrt{n}}}<1$

$\sqrt{n}>\mathrm{1,96}\cdot 3=\mathrm{5,88}\Rightarrow n>{\mathrm{5,88}}^2=\mathrm{34,5744}$

Como el tamaño de la muestra es un número entero, deben tomarse al menos 35 pruebas.



La media de una muestra de tamaño 16 es normal con la desviación típica dividida por la raíz del tamaño.

$\bar{X}\sim N(32,{\displaystyle \frac{3}{\sqrt{16}}})=N(32;\mathrm{0,75})$

Tipificamos y usamos la simetría de la campana para acudir a la tabla.

$P(\bar{X}<\mathrm{30,5})=P(Z<{\displaystyle \frac{\mathrm{30,5}-32}{\mathrm{0,75}}})=P(Z<-2)$

$P(Z<-2)=1-P(Z<2)=1-\mathrm{0,9772}=\mathrm{0,0228}$

La probabilidad de que el tiempo medio de 16 pruebas sea menor que 30,5 minutos es $\mathrm{0,0228}$.