Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

B. 5. (Calificación máxima: 2 puntos)

El consumo diario de pan de un estudiante de secundaria sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica 20 gramos.

a) Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 36. Calcule la probabilidad de que la media muestral $\bar{X}$ no supere los 125 gramos si $\mu =120$ gramos.
b) Sabiendo que para una muestra aleatoria simple de 81 estudiantes de secundaria se ha obtenido el intervalo de confianza (117,3444; 124,6556) para $\mu$, determine el nivel de confianza con el que se obtuvo dicho intervalo.

La media de una muestra extraída de una población normal es también normal, con la desviación típica dividida por la raíz del tamaño.

$\bar{X}\sim N(120,{\displaystyle \frac{20}{\sqrt{36}}})=N(120;\mathrm{3,33})$

Tipificamos y acudimos a la tabla de la normal estándar.

$P(\bar{X}\le 125)=P(Z\le {\displaystyle \frac{125-120}{\mathrm{3,33}}})=P(Z\le \mathrm{1,5})$

$P(Z\le \mathrm{1,5})=\mathrm{0,9332}$

La probabilidad de que la media muestral no supere los 125 gramos es $\mathrm{0,9332}$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{aleatoria}}\mathbf{\text{simple}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{81}}\mathbf{\text{estudiantes}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">117,3444</mn><mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mo\; separator="true">;</mo><mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mn\; mathvariant="bold">124,6556</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{obtuvo}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{intervalo.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El intervalo está centrado en la media muestral, así que su semiamplitud es el error máximo de la estimación.

$E={\displaystyle \frac{\mathrm{124,6556}-\mathrm{117,3444}}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{7,3112}}{2}}=\mathrm{3,6556}$

Despejamos el valor crítico de la fórmula del error, con $\sigma =20$ y $n=81$.

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\Rightarrow \mathrm{3,6556}=z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot {\displaystyle \frac{20}{9}}$

$z_{\alpha \mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\mathrm{3,6556}\cdot 9}{20}}=\mathrm{1,645}$

Leemos la tabla de la normal estándar al revés.

$\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,645})=\mathrm{0,95}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,05}\Rightarrow \alpha =\mathrm{0,10}$

$1-\alpha =\mathrm{0,90}$

El intervalo se obtuvo con un nivel de confianza del 90 %.