Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

B.5. (2 puntos)

Considere una población donde observamos una variable aleatoria X con distribución normal de media desconocida y desviación típica igual a 15. Se toma una muestra aleatoria simple para estimar la media muestral que arroja un intervalo de confianza cuyos extremos son 157,125 y 182,875.

a) Calcule el valor de la media muestral.
b) Si el tamaño de la muestra es 9, ¿cuál es el nivel de confianza para este intervalo?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{muestral.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El intervalo de confianza está centrado en la media muestral, así que esta es el punto medio de sus extremos.

$\bar{x}={\displaystyle \frac{\mathrm{157,125}+\mathrm{182,875}}{2}}={\displaystyle \frac{340}{2}}$

$\bar{x}=170$

La media muestral obtenida es 170.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{9,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{intervalo?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La semiamplitud del intervalo es el error máximo de la estimación.

$E=\mathrm{182,875}-170=\mathrm{12,875}$

Despejamos el valor crítico de la fórmula del error, con $\sigma =15$ y $n=9$.

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\Rightarrow \mathrm{12,875}=z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot {\displaystyle \frac{15}{3}}=5z_{\alpha \mathrm{/}2}$

$z_{\alpha \mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\mathrm{12,875}}{5}}=\mathrm{2,575}$

Leemos la tabla de la normal estándar al revés.

$\mathrm{\Phi }(\mathrm{2,575})=\mathrm{0,995}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,005}\Rightarrow \alpha =\mathrm{0,01}$

$1-\alpha =\mathrm{0,99}$

El intervalo se construyó con un nivel de confianza del 99 %.