Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

B.4. (2 puntos)

Una carta escogida al azar es eliminada (sin ser vista) de un mazo de 52 cartas de póker, en el que hay 13 cartas de cada palo (diamantes, corazones, picas y tréboles). Una vez eliminada, se escoge al azar una carta, entre las que quedan en el mazo, y esta segunda carta es observada.

a) Calcule la probabilidad de que la carta observada sea de diamantes.
b) Si la carta observada no es diamantes, calcule la probabilidad de que la carta eliminada tampoco lo haya sido.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{carta}}\mathbf{\text{observada}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{diamantes.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Llamamos $D_1$ al suceso «la carta eliminada es de diamantes» y $D_2$ a «la carta observada es de diamantes». Del mazo inicial de 52 cartas, 13 son de diamantes.

$P(D_1)={\displaystyle \frac{13}{52}}={\displaystyle \frac{1}{4}},P(\overline{D_1})={\displaystyle \frac{3}{4}}$

Una vez eliminada una carta quedan 51 en el mazo, y el número de diamantes entre ellas depende de lo que se haya eliminado. Lo representamos en un diagrama de árbol.



Aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(D_2)=P(D_1)P(D_2\mathrm{/}{D}_1)+P(\overline{D_1})P(D_2\mathrm{/}\overline{D_1})$

$P(D_2)={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{12}{51}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{13}{51}}={\displaystyle \frac{12+39}{204}}={\displaystyle \frac{51}{204}}$

$P(D_2)={\displaystyle \frac{1}{4}}$

La probabilidad de que la carta observada sea de diamantes es ${\displaystyle \frac{1}{4}}$: eliminar una carta sin verla no altera nada.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{carta}}\mathbf{\text{observada}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{diamantes,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{carta}}\mathbf{\text{eliminada}}\mathbf{\text{tampoco}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{sido.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Se conoce el efecto y se pregunta por la causa, así que utilizamos el teorema de Bayes. Por el apartado anterior, $P(\overline{D_2})=1-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$.

$P(\overline{D_1}\mathrm{/}\overline{D_2})={\displaystyle \frac{P(\overline{D_1})P(\overline{D_2}\mathrm{/}\overline{D_1})}{P(\overline{D_2})}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{38}{51}}}{{\displaystyle \frac{3}{4}}}}$

$P(\overline{D_1}\mathrm{/}\overline{D_2})={\displaystyle \frac{38}{51}}\approx \mathrm{0,7451}$

Sabiendo que la carta observada no es de diamantes, la probabilidad de que la eliminada tampoco lo fuera es ${\displaystyle \frac{38}{51}}\approx \mathrm{0,7451}$.