Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

B.5. (2 puntos)

La distancia diaria en kilómetros recorrida por un autobús urbano se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media desconocida $\mu$ y desviación típica igual a 2 kilómetros.

a) Se toma una muestra aleatoria de tamaño 20 y se obtiene que su media muestral es de 50 kilómetros diarios. Determine un intervalo de confianza del 99 % para la distancia media recorrida diariamente por los autobuses urbanos.
b) Determine el tamaño mínimo de la muestra para que el error máximo cometido en la estimación de la media sea menor que 1 kilómetro, con un nivel de confianza del 90 %.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{99}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{recorrida}}\mathbf{\text{diariamente}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{autobuses}}\mathbf{\text{urbanos.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La población es normal con desviación típica conocida, así que el intervalo de confianza para la media es el habitual.

$n=20,\bar{x}=50\text{ km},\sigma =2\text{ km}$

$1-\alpha =\mathrm{0,99}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,005}\Rightarrow \mathrm{\Phi }(z_{\alpha \mathrm{/}2})=\mathrm{0,995}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,575}$

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}=\mathrm{2,575}\cdot {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{20}}}\approx \mathrm{1,152}$

$I{C}_{99\mathrm{\%}}(\mu )=(50-\mathrm{1,152},50+\mathrm{1,152})=(\mathrm{48,848},\mathrm{51,152})$

Con una confianza del 99 %, la distancia media diaria está entre 48,848 y 51,152 kilómetros.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{cometido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{kil}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{metro,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{90}}\mathbf{\text{\%.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Buscamos el nuevo valor crítico y despejamos el tamaño de la muestra de la fórmula del error.

$1-\alpha =\mathrm{0,90}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,05}\Rightarrow \mathrm{\Phi }(z_{\alpha \mathrm{/}2})=\mathrm{0,95}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,645}$

$\mathrm{1,645}\cdot {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{n}}}<1\Rightarrow \sqrt{n}>\mathrm{1,645}\cdot 2=\mathrm{3,29}$

$n>{\mathrm{3,29}}^2=\mathrm{10,82}$

Como el tamaño de la muestra es un número entero, bastaría con tomar 11 autobuses.