Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

9. (2 puntos)

El porcentaje de aprobados en asignaturas de primer año en la universidad española se puede aproximar por una variable aleatoria normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma =8$ puntos porcentuales.

a) Se toma una muestra aleatoria simple de 20 asignaturas de primer año, obteniéndose que el porcentaje medio de aprobados en la muestra es de 65 puntos porcentuales. Determine un intervalo de confianza al 99 % para $\mu$.
b) Suponga que $\mu =67$ puntos porcentuales. Calcule la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de 10 asignaturas, la media muestral, $\bar{X}$, esté comprendida entre 65 y 69 puntos porcentuales.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{99}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathit{\mu }\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La población es normal con desviación típica conocida, así que el intervalo de confianza para la media es el habitual.

$n=20,\bar{x}=65,\sigma =8$

$1-\alpha =\mathrm{0,99}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,005}\Rightarrow \mathrm{\Phi }(z_{\alpha \mathrm{/}2})=\mathrm{0,995}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,575}$

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}=\mathrm{2,575}\cdot {\displaystyle \frac{8}{\sqrt{20}}}=\mathrm{2,575}\cdot \mathrm{1,7889}\approx \mathrm{4,6063}$

$I{C}_{99\mathrm{\%}}(\mu )=(65-\mathrm{4,6063},65+\mathrm{4,6063})=(\mathrm{60,3937},\mathrm{69,6063})$

Con una confianza del 99 %, el porcentaje medio de aprobados está entre 60,39 y 69,61 puntos porcentuales.





La media de una muestra de tamaño 10 extraída de una población normal es también normal, con la desviación típica dividida por la raíz del tamaño.

$\bar{X}\sim N(67,{\displaystyle \frac{8}{\sqrt{10}}})=N(67;\mathrm{2,5298})$

Tipificamos los dos extremos del intervalo.

$P(65<\bar{X}<69)=P({\displaystyle \frac{65-67}{\mathrm{2,5298}}}<Z<{\displaystyle \frac{69-67}{\mathrm{2,5298}}})=P(-\mathrm{0,79}<Z<\mathrm{0,79})$

Por la simetría de la campana se expresa con un solo valor de la tabla.

$P(-\mathrm{0,79}<Z<\mathrm{0,79})=2\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,79})-1=2\cdot \mathrm{0,7852}-1$

$P(-\mathrm{0,79}<Z<\mathrm{0,79})=\mathrm{0,5704}$

La probabilidad de que la media muestral quede entre 65 y 69 puntos porcentuales es $\mathrm{0,5704}$.