Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

9. (2 puntos) La cantidad de agua absorbida por un tipo particular de planta acuática se puede modelar con una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma =8$ ml.

a) Se selecciona aleatoriamente una muestra de 25 plantas acuáticas y se determina que la cantidad media de agua absorbida es de 120 ml. Calcule un intervalo de confianza del 95 % para la media de la cantidad de agua absorbida por este tipo de planta acuática.
b) Determine el tamaño mínimo de la muestra necesario para que el error máximo, en la estimación de la media de la cantidad de agua absorbida, sea menor que 1 ml, con un nivel de confianza del 90 %.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{95}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{agua}}\mathbf{\text{absorbida}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{planta}}\mathbf{\text{acu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tica.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La población es normal con desviación típica conocida, así que la media muestral se distribuye según $\bar{X}\sim N(\mu ,{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$ y el intervalo de confianza es el habitual.

$n=25,\bar{x}=120\text{ ml},\sigma =8\text{ ml}$

$1-\alpha =\mathrm{0,95}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,025}\Rightarrow \mathrm{\Phi }(z_{\alpha \mathrm{/}2})=\mathrm{0,975}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}=\mathrm{1,96}\cdot {\displaystyle \frac{8}{\sqrt{25}}}=\mathrm{1,96}\cdot \mathrm{1,6}=\mathrm{3,136}$

$I{C}_{95\mathrm{\%}}(\mu )=(120-\mathrm{3,136},120+\mathrm{3,136})=(\mathrm{116,864},\mathrm{123,136})$

Con una confianza del 95 %, la cantidad media de agua absorbida por estas plantas está entre 116,864 y 123,136 mililitros.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{necesario}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{agua}}\mathbf{\text{absorbida,}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{ml,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{90}}\mathbf{\text{\%.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Buscamos primero el nuevo valor crítico y después despejamos el tamaño de la muestra de la fórmula del error.

$1-\alpha =\mathrm{0,90}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,05}\Rightarrow \mathrm{\Phi }(z_{\alpha \mathrm{/}2})=\mathrm{0,95}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,645}$

$\mathrm{1,645}\cdot {\displaystyle \frac{8}{\sqrt{n}}}<1\Rightarrow \sqrt{n}>\mathrm{1,645}\cdot 8=\mathrm{13,16}$

$n>{\mathrm{13,16}}^2=\mathrm{173,19}$

Como el tamaño de la muestra es un número entero, deben tomarse al menos 174 plantas acuáticas para que el error sea menor que 1 ml con una confianza del 90 %.