Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

EJERCICIO 6. Estadística y Probabilidad.
El peso de las naranjas para zumo recolectadas por un productor es una variable aleatoria que se distribuye normalmente con una media de $\mu =200$ gramos y una desviación típica de $\sigma =50$ gramos.

a) Si tomamos una muestra aleatoria de $n=25$ naranjas, ¿cuál es la probabilidad de que su peso medio esté comprendido entre 175 y 215 gramos?
b) ¿De qué tamaño se ha tomado otra muestra aleatoria si la probabilidad de que el peso medio sea inferior a 210 gramos es del 97.72%?

La media de una muestra de tamaño 25 tomada de una población normal se distribuye también normalmente:

$\bar{X}\sim N(\mu ;{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})=N(200;{\displaystyle \frac{50}{5}})=N(200;10)$

Tipificamos los dos extremos del intervalo.

$P(175\le \bar{X}\le 215)=P({\displaystyle \frac{175-200}{10}}\le Z\le {\displaystyle \frac{215-200}{10}})=P(-\mathrm{2,5}\le Z\le \mathrm{1,5})$

$=P(Z\le \mathrm{1,5})-P(Z\le -\mathrm{2,5})=P(Z\le \mathrm{1,5})-[1-P(Z\le \mathrm{2,5})]$

$=\mathrm{0,9332}-(1-\mathrm{0,9938})=\mathrm{0,9332}-\mathrm{0,0062}=\mathrm{0,9270}$



La probabilidad de que el peso medio de 25 naranjas esté entre 175 y 215 gramos es $\mathrm{0,9270}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿De}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{tomado}}\mathbf{\text{otra}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{aleatoria}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{peso}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{inferior}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{210}}\mathbf{\text{gramos}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{97.72\%?}}$

Ahora el tamaño de la muestra es la incógnita. Tipificamos con $n$ sin concretar.

$P(\bar{X}<210)=P(Z<{\displaystyle \frac{210-200}{\frac{50}{\sqrt{n}}}})=\mathrm{0,9772}$

En la tabla de la normal estándar, al valor 0,9772 le corresponde $z=2$.

${\displaystyle \frac{10\sqrt{n}}{50}}=2\Rightarrow \sqrt{n}=10\Rightarrow n=100$

La otra muestra aleatoria se tomó con 100 naranjas.