Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

8. (2 puntos) En un festival de música con 200 asistentes se observa que a 90 personas les gusta el pop, a 70 el techno y a 30 les gustan ambos géneros. Eligiendo al azar a un asistente del festival, calcule la probabilidad de que:

a) Le guste al menos uno de los dos géneros musicales.
b) Le guste el techno pero no el pop.

Llamamos $P$ al suceso «al asistente le gusta el pop» y $T$ a «le gusta el techno». Los datos del enunciado se ordenan en una tabla de contingencia, que se completa por diferencias hasta los totales.

$$	$\text{Le gusta el techno}$	$\text{No le gusta el techno}$	$\text{Total}$ Le gusta el pop	30	60	90 No le gusta el pop	40	70	110 Total	70	130	200

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Le}}\mathbf{\text{guste}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{g}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{neros}}\mathbf{\text{musicales.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Que le guste al menos uno de los dos géneros es la unión de ambos sucesos. Aplicamos la regla de Laplace sobre los 200 asistentes.

$P(P\cup T)=P(P)+P(T)-P(P\cap T)={\displaystyle \frac{90}{200}}+{\displaystyle \frac{70}{200}}-{\displaystyle \frac{30}{200}}$

$P(P\cup T)={\displaystyle \frac{130}{200}}={\displaystyle \frac{13}{20}}=\mathrm{0,65}$

La probabilidad de que le guste al menos uno de los dos géneros es $\mathrm{0,65}$; es también la casilla que se obtiene descontando los 70 asistentes a los que no les gusta ninguno.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Le}}\mathbf{\text{guste}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{techno}}\mathbf{\text{pero}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{pop.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Es la casilla de la tabla que cruza «le gusta el techno» con «no le gusta el pop», es decir, los 70 aficionados al techno menos los 30 que también lo son al pop.

$P(T\cap \bar{P})=P(T)-P(P\cap T)={\displaystyle \frac{70}{200}}-{\displaystyle \frac{30}{200}}={\displaystyle \frac{40}{200}}$

$P(T\cap \bar{P})={\displaystyle \frac{1}{5}}=\mathrm{0,2}$

La probabilidad de que le guste el techno pero no el pop es $\mathrm{0,2}$.