Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

10. (2 puntos)

Según los datos del INE, el 45,68 % de las familias españolas tienen una renta mensual entre 1500 a 3000 euros y el 23,98 % de las familias tienen una renta mensual superior a 3000 euros. Entre las familias con menos de 1500 euros mensuales solo el 10 % viaja por vacaciones, si el ingreso es de 1500 a 3000 euros mensuales viajan el 40 % y si el ingreso es mayor de 3000 euros mensuales viajan el 85 %. Eligiendo al azar una familia española, calcule la probabilidad de que:

a) Viaje por vacaciones.
b) Sabiendo que viaja por vacaciones, su ingreso mensual sea mayor de 1500 euros.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Viaje}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{vacaciones.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Llamamos $I_1$, $I_2$ e $I_3$ a los sucesos «la renta mensual es menor de 1500 euros», «está entre 1500 y 3000» y «supera los 3000», que forman un sistema completo, y $V$ a «la familia viaja por vacaciones», con $\bar{V}$ para «no viaja». La primera probabilidad sale por diferencia.

$P(I_1)=1-\mathrm{0,4568}-\mathrm{0,2398}=\mathrm{0,3034}$

Organizamos toda la información en un diagrama de árbol.



Aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(V)=P(I_1)P(V\mathrm{/}{I}_1)+P(I_2)P(V\mathrm{/}{I}_2)+P(I_3)P(V\mathrm{/}{I}_3)$

$P(V)=\mathrm{0,3034}\cdot \mathrm{0,10}+\mathrm{0,4568}\cdot \mathrm{0,40}+\mathrm{0,2398}\cdot \mathrm{0,85}$

$P(V)=\mathrm{0,0303}+\mathrm{0,1827}+\mathrm{0,2038}=\mathrm{0,4169}$

La probabilidad de que una familia española elegida al azar viaje por vacaciones es $\mathrm{0,4169}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{viaja}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{vacaciones,}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{ingreso}}\mathbf{\text{mensual}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1500}}\mathbf{\text{euros.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Tener un ingreso mayor de 1500 euros es el suceso $I_2\cup I_3$, y como los dos son incompatibles el numerador es la suma de sus dos ramas del árbol.

$P((I_2\cup I_3)\cap V)=P(I_2)P(V\mathrm{/}{I}_2)+P(I_3)P(V\mathrm{/}{I}_3)=\mathrm{0,1827}+\mathrm{0,2038}=\mathrm{0,3865}$

$P(I_2\cup I_3\mathrm{/}V)={\displaystyle \frac{P((I_2\cup I_3)\cap V)}{P(V)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,3865}}{\mathrm{0,4169}}}$

$P(I_2\cup I_3\mathrm{/}V)\approx \mathrm{0,9272}$

Entre las familias que viajan por vacaciones, el 92,72 % ingresa más de 1500 euros al mes.