Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

8. (2 puntos)

La observación meteorológica para los días de otoño en Madrid establece que el día está nublado en un 50 % de las ocasiones y que la temperatura baja de los 10 grados un 7 % de los días. Además, el 35 % de los días son nublados o la temperatura baja de los 10 grados. Escogiendo un día de otoño al azar, calcule la probabilidad de que:

a) Esté nublado y la temperatura baje de los 10 grados.
b) No esté nublado, sabiendo que la temperatura no baja de los 10 grados.

Llamamos $N$ al suceso «el día está nublado» y $T$ a «la temperatura baja de los 10 grados».

$P(N)=\mathrm{0,5},P(T)=\mathrm{0,07},P(N\cup T)=\mathrm{0,35}$

Conviene advertir que estos datos son incompatibles entre sí: la unión de dos sucesos contiene a cada uno de ellos, de modo que $P(N\cup T)\ge P(N)=\mathrm{0,5}$ y no puede valer $\mathrm{0,35}$. Aun así se opera formalmente con las propiedades de la probabilidad, que es lo que pide el ejercicio.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{nublado}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{temperatura}}\mathbf{\text{baje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{grados.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Despejamos la intersección de la fórmula de la probabilidad de la unión.

$P(N\cup T)=P(N)+P(T)-P(N\cap T)$

$P(N\cap T)=P(N)+P(T)-P(N\cup T)=\mathrm{0,5}+\mathrm{0,07}-\mathrm{0,35}$

$P(N\cap T)=\mathrm{0,22}$

La probabilidad de que el día esté nublado y la temperatura baje de los 10 grados es $\mathrm{0,22}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{No}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{nublado,}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{temperatura}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{baja}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{grados.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Es una probabilidad condicionada. El numerador es la intersección de los dos contrarios, que por las leyes de De Morgan es el contrario de la unión.

$P(\bar{N}\cap \bar{T})=P(\overline{N\cup T})=1-P(N\cup T)=1-\mathrm{0,35}=\mathrm{0,65}$

$P(\bar{T})=1-P(T)=1-\mathrm{0,07}=\mathrm{0,93}$

$P(\bar{N}\mathrm{/}\bar{T})={\displaystyle \frac{P(\bar{N}\cap \bar{T})}{P(\bar{T})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,65}}{\mathrm{0,93}}}$

$P(\bar{N}\mathrm{/}\bar{T})\approx \mathrm{0,6989}$

Sabiendo que la temperatura no baja de los 10 grados, la probabilidad de que el día no esté nublado es de $\mathrm{0,6989}$.