Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

B.4. (2 puntos)

El Ministerio de Educación y Formación Profesional convoca regularmente unas ayudas al estudio. En el curso 2019-2020 las ayudas destinadas a las Enseñanzas Obligatorias representaron el 56,5 % del total, el 24 % correspondieron a Enseñanzas Universitarias, mientras que el 19,5 % restante fueron para Enseñanzas Postobligatorias No Universitarias. Las ayudas concedidas son financiadas o bien por el ministerio o bien por la Comunidad Autónoma a la que pertenece el estudiante. Concretamente, en el curso 2019-2020, las ayudas financiadas por el ministerio representaron el 13,8 % del total de ayudas de Enseñanzas Obligatorias, el 86,1 % de las Universitarias y el 80,3 % de las Postobligatorias No Universitarias. Eligiendo una ayuda al estudio al azar de las anteriormente descritas, calcule la probabilidad de que:

a) Sea financiada por el ministerio.
b) La ayuda sea de Enseñanza Obligatoria, sabiendo que ha sido financiada por el ministerio.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Sea}}\mathbf{\text{financiada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{ministerio.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Llamamos $O$, $U$ y $P$ a los sucesos «la ayuda es de Enseñanzas Obligatorias, Universitarias o Postobligatorias No Universitarias», que forman un sistema completo, y $M$ a «está financiada por el ministerio».

$P(O)=\mathrm{0,565},P(U)=\mathrm{0,24},P(P)=\mathrm{0,195}$

$P(M\mathrm{/}O)=\mathrm{0,138},P(M\mathrm{/}U)=\mathrm{0,861},P(M\mathrm{/}P)=\mathrm{0,803}$

Organizamos la información en un diagrama de árbol.



Aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(M)=P(O)P(M\mathrm{/}O)+P(U)P(M\mathrm{/}U)+P(P)P(M\mathrm{/}P)$

$P(M)=\mathrm{0,565}\cdot \mathrm{0,138}+\mathrm{0,24}\cdot \mathrm{0,861}+\mathrm{0,195}\cdot \mathrm{0,803}$

$P(M)=\mathrm{0,0780}+\mathrm{0,2066}+\mathrm{0,1566}=\mathrm{0,4412}$

La probabilidad de que una ayuda elegida al azar esté financiada por el ministerio es $\mathrm{0,4412}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{ayuda}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Ense}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{anza}}\mathbf{\text{Obligatoria,}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{financiada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{ministerio.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Se conoce el efecto y se pregunta por la causa, así que utilizamos el teorema de Bayes.

$P(O\mathrm{/}M)={\displaystyle \frac{P(O)P(M\mathrm{/}O)}{P(M)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,565}\cdot \mathrm{0,138}}{\mathrm{0,4412}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,0780}}{\mathrm{0,4412}}}$

$P(O\mathrm{/}M)\approx \mathrm{0,1767}$

Entre las ayudas financiadas por el ministerio, solo un 17,67 % corresponde a Enseñanzas Obligatorias, pese a ser estas las más numerosas del total.