Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

B.4. (2 puntos)

La Agencia Estatal de Investigación Española convoca regularmente el Programa Ramón y Cajal para la contratación de investigadores de trayectoria destacada en dos modalidades: general y jóvenes doctores. En la convocatoria 2021 se presentaron 2159 solicitudes en la modalidad general y 1316 en la modalidad de jóvenes doctores. El porcentaje de investigadores seleccionados en la modalidad general fue del 16,1 %, mientras que en la modalidad de jóvenes doctores fue del 21,1 %. Eligiendo un investigador al azar, entre los solicitantes, calcule la probabilidad de que:

a) Sea seleccionado para recibir una de las ayudas Ramón y Cajal.
b) La solicitud sea de la modalidad general, sabiendo que el investigador ha sido seleccionado.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Sea}}\mathbf{\text{seleccionado}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{recibir}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{ayudas}}\mathbf{\text{Ram}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{Cajal.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Llamamos $G$ al suceso «la solicitud es de la modalidad general» y $J$ a «es de la modalidad de jóvenes doctores»; forman un sistema completo. Llamamos $S$ a «el investigador es seleccionado» y $\bar{S}$ a que no lo sea.

Las probabilidades de cada modalidad salen del reparto de las 3475 solicitudes.

$P(G)={\displaystyle \frac{2159}{2159+1316}}={\displaystyle \frac{2159}{3475}}\approx \mathrm{0,62}$

$P(J)={\displaystyle \frac{1316}{3475}}\approx \mathrm{0,38}$

Organizamos toda la información en un diagrama de árbol.



Aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(S)=P(G)P(S\mathrm{/}G)+P(J)P(S\mathrm{/}J)=\mathrm{0,62}\cdot \mathrm{0,161}+\mathrm{0,38}\cdot \mathrm{0,211}$

$P(S)=\mathrm{0,0998}+\mathrm{0,0802}=\mathrm{0,18}$

La probabilidad de que un solicitante elegido al azar sea seleccionado es $\mathrm{0,18}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{solicitud}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{modalidad}}\mathbf{\text{general,}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{investigador}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{seleccionado.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Se conoce el efecto y se pregunta por la causa, así que utilizamos el teorema de Bayes.

$P(G\mathrm{/}S)={\displaystyle \frac{P(G)P(S\mathrm{/}G)}{P(S)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,62}\cdot \mathrm{0,161}}{\mathrm{0,18}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,0998}}{\mathrm{0,18}}}$

$P(G\mathrm{/}S)\approx \mathrm{0,56}$

Entre los investigadores seleccionados, el 56 % había solicitado la ayuda en la modalidad general.